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Forum "Topologie und Geometrie" - Abgeschlossener, offener Raum
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Abgeschlossener, offener Raum: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Mi 22.06.2005
Autor: Quasimodo

Tach!

Muss hier ne Aufgabe bearbeitet. Vielleicht hat jemand einen Tip wie ich die Aufgabe lösen kann:

Es sei (X,d) ein metrischer Raum, M [mm] \subseteq [/mm] X. Zeigen Sie:

a)  [mm] \overline{M} [/mm] ist abgeschlossen; [mm] \overline{\overline{M}} =\overline{M} [/mm]
b) M° ist offen; (M°)°=M°

Danke schonmal für jeden Hinweis.

Gruß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Abgeschlossener, offener Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Mi 22.06.2005
Autor: SEcki


> a)  [mm]\overline{M}[/mm] ist abgeschlossen; [mm]\overline{\overline{M}} =\overline{M}[/mm]

Wie habt ihr den Abschluss definiert? Man kann es einfach als Schnitt über alle abgeschlossene Mengen definieren, die M entahlten, dann wird das trivial ...

> b) M° ist offen; (M°)°=M°

Genauso: wie habt ihr das Innere genau definiert? Man kann es als Vereingung aller offenen Mengen, die in M entahlten sind, definieren - dann wird das auch wieder trivial ..

SEcki

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Abgeschlossener, offener Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:30 Mi 22.06.2005
Autor: Quasimodo

Moin Secki,

wir haben dies so definiert:
[mm] \overline{M}= [/mm] M [mm] \cup \partial [/mm] M
M°=M\ [mm] \partial [/mm] M

Gruß

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Abgeschlossener, offener Raum: Definition vom Rand beachten!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Do 23.06.2005
Autor: Gnometech

Hallo!

Naja, das ist nur eine Frage, die Defintion korrekt einzusetzen.

Zur Erinnerung: ist $M$ eine Menge in einem metrischen Raum $(X,d)$, so ist der Rand von $M$ definiert als

[mm] $\partial [/mm] M = [mm] \{ x \in X : \; \forall \v; \varepsilon > 0 : B_\varepsilon(x) \cap M \not= \emptyset \mbox{ und } B_\varepsilon(x) \cap M^c \not= \emptyset \}$ [/mm]

Dabei meine ich mit [mm] $M^c [/mm] = X [mm] \backslash [/mm] M$ das Komplement von $M$ in $X$.

Oder in Worten: der Rand von $M$ sidn alle Punkte in $X$, bei denen in jeder Epsilon-Umgebung sowohl Punkte von $M$ als auch Punkte aus [mm] $M^c$ [/mm] liegen.

So, ich beweise jetzt das mit dem Abschluss - das mit dem Inneren geht im Prinzip genauso, das überlasse ich Dir.

Gezeigt werden soll, dass [mm] $\bar{M}$ [/mm] abgeschlossen ist. Sei $U := X [mm] \backslash \bar{M}$, [/mm] dann müssen wir zeigen, dass $U$ offen ist, also mit jedem Punkt noch eine Umgebung enthält.

Beweis durch Widerspruch. Angenommen $U$ wäre nicht offen, dann findet man ein $x [mm] \in [/mm] U$ mit der Eigenschaft, dass keine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ ganz in $U$ liegt. Zunächst gilt $x [mm] \notin [/mm] M$, da $M [mm] \subseteq \bar{M} [/mm] = M [mm] \cup \partial [/mm] M$, also gilt für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$: $x [mm] \in B_\varepsilon(x) \cap M^c$, [/mm] also ist diese Menge schon mal nicht leer.

Da aber keine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ ganz in $U$ liegt, gibt es in jeder solcher Umgebung Punkte aus [mm] $\bar{M}$ [/mm] und sogar Punkte aus $M$ persönlich (da in jeder Umgebung eines Punktes aus [mm] $\partial [/mm] M$ Punkte aus $M$ liegen). Damit ist [mm] $B_\varepsilon(x) \cap [/mm] M [mm] \not= \emptyset$. [/mm] Also ist $x [mm] \in \partial [/mm] M$ und daraus folgt $x [mm] \notin [/mm] U$ ein Widerspruch.

Alles klar? Für das Innere musst Du ähnlich argumentieren, das geht sogar noch leichter.

Lars

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Abgeschlossener, offener Raum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Sa 25.06.2005
Autor: Quasimodo

Tach Lars,

Danke für die ausführliche Antowort. Ich werde versuchen dies nachzuvollziehen und die zweite Aufgabe zu rechnen.

Gruß

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Abgeschlossener, offener Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Di 28.06.2005
Autor: johann1850

[mm] \overline{\overline{M}} =\overline{M} [/mm]
ich verstehe leider nicht wie man das zeigen soll.
helft bitte.

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Abgeschlossener, offener Raum: Schon beantwortet
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Mi 29.06.2005
Autor: Gnometech

Hallo!

Hm, das verstehe ich nicht - genau das habe ich doch hier schon ausführlich bewiesen!

Es ist ja bekannt, dass eine Menge $A$ genau dann abgeschlossen ist, wenn gilt: [mm] $\partial [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A$.

Ich habe in dem anderen Artikel bewiesen, dass [mm] $\overline{M}$ [/mm] abgeschlossen ist, also gilt insbesondere [mm] $\partial \overline{M} \subseteq \overline{M}$. [/mm]

Und damit folgt die Behauptung: denn der Abschluss einer Menge ist die Vereinigung der Menge mit ihrem Rand.

Alles klar?

Lars

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