Abgeschlossenheit zeigen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 22.09.2011 | | Autor: | hula |
Hallo
Ich bräuchte einen Tipp um den folgenden Beweis zu führen. Wir befinden uns im Raum $\ [mm] L^1([-1,1]) [/mm] $. Ich will zeigen, dass folgende Menge in $\ [mm] L^1 [/mm] $ abgeschlossen ist:
$\ [mm] A_n:=\{f | \integral{|f|^2 dx}\le n\} [/mm] $
Ich wollte dies mit dem Folgenkriterium erreichen. Sei $\ [mm] (f_k)_{k\in \IN} \subset A_n$ [/mm] und konvergiere diese in $\ [mm] L^1 [/mm] $ gegen $\ f $. Dann ist zu zeigen, dass $\ [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{L^2}^2 \le [/mm] n $. Es ist klar, dass ich den Raum $\ [mm] L^2$ [/mm] stetig in $\ [mm] L^1 [/mm] $ einbetten kann. Dass eine Funktion $\ [mm] f_k [/mm] $ in $\ [mm] A_n [/mm] $ liegt, bedeutet ja gerade, dass sie quadratisch integrierbar ist. Wie soll ich den hier nun das gewünschte zeigen ?
Ich wäre für einen Tipp sehr dankbar.
Greetz
hula
Leider schaffe ich das nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:47 Fr 23.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo hula!
> Hallo
>
> Ich bräuchte einen Tipp um den folgenden Beweis zu
> führen. Wir befinden uns im Raum [mm]\ L^1([-1,1]) [/mm]. Ich will
> zeigen, dass folgende Menge in [mm]\ L^1[/mm] abgeschlossen ist:
>
> [mm]\ A_n:=\{f | \integral{|f|^2 dx}\le n\}[/mm]
>
> Ich wollte dies mit dem Folgenkriterium erreichen. Sei [mm]\ (f_k)_{k\in \IN} \subset A_n[/mm]
> und konvergiere diese in [mm]\ L^1[/mm] gegen [mm]\ f [/mm]. Dann ist zu
> zeigen, dass [mm]\ \parallel f \parallel_{L^2}^2 \le n [/mm]. Es ist
> klar, dass ich den Raum [mm]\ L^2[/mm] stetig in [mm]\ L^1[/mm] einbetten
> kann. Dass eine Funktion [mm]\ f_k[/mm] in [mm]\ A_n[/mm] liegt, bedeutet ja
> gerade, dass sie quadratisch integrierbar ist. Wie soll ich
> den hier nun das gewünschte zeigen ?
Verstehe ich dich richtig, dass es nur daran hängt zu zeigen, dass für den Grenzwert f der Folge [mm] $f_k$ [/mm] die Normungleichung [mm]\ \parallel f \parallel_{L^2}^2 \le n [/mm] gilt? Oder geht es dir darum zu zeigen, dass [mm] $f\in L^2$ [/mm] gilt?
Wenn [mm] $f\in L^2$, [/mm] dann folgt mit der Stetigkeit der Normen, dass
[mm] \limes_{k\to \infty} \|f_k\|_2 = \|\limes_{k\to\infty}f_k\|_2 = \|f\|_2 [/mm]
ist. Da alle Glieder der Folge [mm] $a_k=\|f_k\|_2$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $a_k\le [/mm] n$ besitzen, muss auch [mm] $\limes_{k\to\infty} a_k \le [/mm] n$ sein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
