matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenAbhängigkeit der Lösung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Abhängigkeit der Lösung
Abhängigkeit der Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abhängigkeit der Lösung: Ideenbesprechung und Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 So 12.01.2020
Autor: clemenum

Aufgabe
Sei $y$ eine Lösung der Gleichung [mm] $y'=\arctan(y)$ [/mm] in [mm] $\mathbb{R}.$ [/mm] Zeige folgendes:
(a) $y(1)y(-1) [mm] \ge [/mm] 0 $
(b) $y$ monoton
(c) $y(0) [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow$ [/mm] $y$ unbeschränkt
(d) [mm] $y\in C^{\infty}(\mathbb{R}) [/mm]
(e) $y(0) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y$ konvex






Zu (a):
Idee: Ich unterscheide die Fälle, dass beide Faktoren größer 0 sind und im Zweiten Fall, dass beide Faktoren kleiner als 0 sind.
Also I:
Sei $y(-1)>0.$ Zu zeigen ist, dass $y(1)>0$
Aus $y(-1)>0$ folgt aus der Monotonie der Arcustangensfunktion , dass [mm] $\arctan(-1)>\arctan(0)=0$ [/mm] ist. Also folgt $y'(-1)>0.$ Die Frage ist also, wie man von $y'(-1)$ auf $y'(1)$ kommt?
Meine Idee ist hier die: Da ja die Tangente beim Punkt $y(t=1)$ steigend ist, bedeutet dies, dass in einer "kleinen" Umgebung dieses Paares die Integralkurve steigt. Also können wir schreiben: $y(-1 + dt) > y(-1).$ Folglich muss dies aufgrund der Monotonie des Arctan(y) auch für die dortigen Steigungen gelten: [mm]y'(-1 + dt) > y'(-1). [/mm] Da [mm]\arctan(y(t))[/mm] monton wächst, müsste jetzt [mm]y'(t) > y'(-1)[/mm]  für alle weiteren [mm]t[/mm]. Somit ist [mm]y(1)>y(-1)[/mm] also ist auch [mm]y(1)>0[/mm] und somit [mm]y(-1)y(1)>0.[/mm]

Frage: Ist diese Schlussfolgerung für diese weiteren $y(t)$ korrekt? Ich bin nicht sicher ob nicht plötzlich die Kurve abflacht und die Steigung nicht plötzlich abnimmt. Das Problem ist, dass nur ein Zusammenhang zwischen Lösungskurven und deren Steigungsverlauf bekannt ist, nicht aber was mit dem $y$ bei wackelnden $t$ passiert; bei letzterem ist also "jedes" Verhalten möglich. Aber exakter also das mit dem $dt$ schaffe ich es nicht. Das ist das einzige was mir dazu kam.
Was sagt ihr zu dieser Idee?

Zu (b) Man soll also zeigen, dass [mm] |y'|\ge 0[/mm] für alle [mm]t \in \mathbb{R}[/mm] gilt;
In [mm] y \in ]0,\infty[ [/mm] ist [mm]y'>0[/mm]
In [mm] y\in ]-\infty,0[ [/mm] ist [mm] y'<0 [/mm]
Gilt [mm] y = 0 \Rightarrow y'=\arctan(0)=0 [/mm]
Folglich gilt also insgesamt [mm] |y'|\ge 0 [/mm], also monton (aber nicht streng monoton).
Passt das so?  

Zu (c)
Zu zeigen ist also, dass für ALLE Anfangswert-Paare [mm] (0,a) \in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} [/mm] gilt, dass $y$ unbeschränkt ist.
1. Fall [mm] y(0)>0 [/mm]:
[mm] y(0) >0 \Rightarrow y'(0) >0 \Rightarrow y'(0 + dt) > y'(0). [/mm]
So, jetzt wäre günstig so etwas wie [mm] y'(t) > y'(0) [/mm] folgern zu können, aber ich habe keine Garantie, dass dies aus der Gestalt der DGL folgen kann, weil - wie oben schon gesagt - eben NICHT bekannt ist, wie sich die Funktion verhält, wenn [mm] t[/mm] variiert.

Wäre für Aufklärung sehr dankbar.



        
Bezug
Abhängigkeit der Lösung: Fragestellung okay?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 So 12.01.2020
Autor: Infinit

Hallo clemenum,
bevor wir hier in verschiedene Richtungen denken, kommt hier eine kleine Frage. Beziehen sich wirklich alle Teilaufgaben auf die unbekannte Lösung y, oder ist hier vieleicht beim Schreiben, zumindest teilweise, ein Ableitungsstrich verlorengegangen?
In Aufgabe a) ist die Ableitung für negative Werte auf jeden Fall auch negativ.  Schaue doch bitte vorsichtshalber noch mal nach.
Vielen Dank und viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Abhängigkeit der Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 So 12.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hallo infinit,

die Aufgabe a) ist doch soweit ok… nur in seiner Lösung hat der Fragesteller ab und an mal ein y vergessen…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Abhängigkeit der Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 So 12.01.2020
Autor: clemenum

eigentlich müsste es jetzt ausgebessert sein. Ein Fehler mit den ' fand ich nicht.

Mein Problem im Wesentlichen ist, dass ich nicht mehr weiterkomm in der Frage wie $y$ von $t$ abhängig ist. Ohne das zu wissen, sind ja viele dieser Fragen kaum zu beantworten.

Bezug
                
Bezug
Abhängigkeit der Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:47 So 12.01.2020
Autor: clemenum

"Beziehen sich wirklich alle Teilaufgaben auf die unbekannte Lösung y"
JA, tun sie! Es ist immer ein und dasselbe [mm] y [/mm] gemeint!

Bezug
        
Bezug
Abhängigkeit der Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:31 Mo 13.01.2020
Autor: fred97

Setze $f(x,y):= [mm] \arctan(y)$ [/mm] Mit dem Mittelwersatz sieht man $|f(x,y)-f(x,u)| [mm] \le [/mm] |y-u|$. f erfüllt also eine Lipschitzbedingung bezügl. y.

Sind nun [mm] x_0,y_0 \in \IR, [/mm] so liefert Picard -Lindelöf: das Anfangswertproblem (AWP)

     [mm] $u'=f(x,u)=\arctan(u), \quad u(x_0)=y_0$ [/mm]

hat auf [mm] \IR [/mm] genau eine Lösung. Sei nun y eine  Lösung  der DGL und [mm] y_0:=y(0). [/mm]

Setze z(x):=y(-x). Zeige y und z lösen das AWP

    [mm] $u'=f(x,u)=\arctan(u), \quad u(0)=y_0$. [/mm]

Damit ist z=y auf [mm] \IR, [/mm] also y(-x)=y(x) für alle x.

Insbes. ist y(1)=y(-1).   Das zeigt (a).


Nun nehmen wir an, dass es [mm] x_1,x_2 \in \IR [/mm] gibt mit [mm] y(x_1) [/mm] <0 und [mm] y(x_2)>0. [/mm] Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein [mm] t_0 [/mm] zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mit [mm] y(t_0)=0. [/mm]

Das AWP

[mm] $u'=f(x,u)=\arctan(u), \quad u(t_0)=0$. [/mm]

hat dann zwei Lösungen, nämlich y und die Nullfunktion. Da das AWP genau eine Lösung hat ist y die Nullfunktion. Das widerspricht aber [mm] y(x_1) [/mm] < 0.

Fazit: es ist y [mm] \ge [/mm] 0 auf [mm] \IR [/mm] oder y [mm] \le [/mm] 0 auf [mm] \IR. [/mm] Damit y' [mm] \ge [/mm] 0 auf [mm] \IR [/mm] oder y' [mm] \le [/mm] 0 auf [mm] \IR. [/mm] Somit ist y monoton.  Das liefert (b).

Nun versuche Dich mal an (c) und (e).

(d) ist einfach, warum ?




Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]