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Forum "Vektoren" - Abhängigkeit von Vektoren
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Abhängigkeit von Vektoren: Bestimmung reeller Zahl
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mi 21.10.2015
Autor: neevel

Aufgabe
Wie muss die reelle zahl a gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
(1)      (2)   (1)
(a)      (8)   (1)
[mm] (a^2) [/mm]       (18)  (1)

Hi leute ich komme bei dieser Aufgabe einfach verflucht nicht weiter seit 2stunden
schafft es einer irgendwie heraus zu bekommen ? als lösung soll a=1 oder a=5/3 raus kommen nur komme ich nie auf diese lösung
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abhängigkeit von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mi 21.10.2015
Autor: Chris84


> Wie muss die reelle zahl a gewählt werden, damit die
> Vektoren linear abhängig sind?
> (1)      (2)   (1)
>  (a)      (8)   (1)
>  [mm](a^2)[/mm]       (18)  (1)
>  Hi leute ich komme bei dieser Aufgabe einfach verflucht
> nicht weiter seit 2stunden
> schafft es einer irgendwie heraus zu bekommen ? als lösung
> soll a=1 oder a=5/3 raus kommen nur komme ich nie auf diese
> lösung
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Huhu,
das sieht wahrscheinlich schwieriger aus, als es ist ^^
Drei Vektoren [mm] $\vec{u},\vec{v}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}$ [/mm] sind doch dann linear abhaendgig, wenn z.B.

[mm] $\vec{u}=\lambda\vec{v}+\kappa\vec{w}, \lambda,\kappa\in\IR$ [/mm]

gilt.
Schreib das doch mal fuer deine Vektoren aus ( Vektoren kann man uebrigens so schreiben [mm] $\vektor{1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] ).
Dann bekommst du ein (nichtlineares) Gleichhungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten! Kannst du das loesen? (Wenn nicht, wo happert's?)

Ist das klar soweit?

Gruss,
Chris

Bezug
        
Bezug
Abhängigkeit von Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mi 21.10.2015
Autor: neevel

ich habe es genau so gemacht wie zu einem post hier von Gonozal_IX zu einer ähnlichen aufgabe die ich auch nach 10 min begriffen habe aber bei der jetzigen aufgabe wo ich dann das ergebnis von s in die dritte gleichung einsetze klappt es nicht : https://matheraum.de/forum/Bestimmung_reeller_Zahl/t182122

Hm ok, rechnen wir es mal durch:

3r + 1s + at = 0
1r + 0s + 4t = 0
ar + 4s + 1t = 0

Ok, gehen wir mal nach dem o.g. Prinzip vor.

Alle Gleichungen haben eine Variable direkt dastehen. Davon ist die 2. diejenige mit weniger Variablen, also nehmen wir erstmal die und formen die um.

r = -4t

Nun haben wir noch eine Gleichung, wo eine Variable direkt drinsteht, die 1. also setzen wir da ein: (man könnte natürlich auch in die 3. Einsetzen und dann nach t Umformen ;-) )

3(-4t) + 1s + at = 0

Umformen:

s = (12 - a)t


Und in die Dritte einsetzen:

a(-4t) + 4(12-a)t + 1t = 0

Umformen:

-4at + 48t - 4at + t = 0

(49 - 8a)t = 0


Soooooooooo, die Vektoren sollen nun linear abhängig sein, d.h. es muss mindestens noch eine Lösung des Gleichungssystem geben, die verschieden der trivialen Lösung r=s=t=0 ist, also soll $ [mm] t\not=0 [/mm] $ gelten.
Also muss gelten, damit die Gleichung erfüllt ist:

(49-8a) = 0

$ a = [mm] \bruch [/mm] {49}{8} $

Fertig :-)

Bezug
                
Bezug
Abhängigkeit von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Mi 21.10.2015
Autor: Chris84


> ich habe es genau so gemacht wie zu einem post hier von
> Gonozal_IX zu einer ähnlichen aufgabe die ich auch nach 10
> min begriffen habe aber bei der jetzigen aufgabe wo ich
> dann das ergebnis von s in die dritte gleichung einsetze
> klappt es nicht :
> https://matheraum.de/forum/Bestimmung_reeller_Zahl/t182122
>  
> Hm ok, rechnen wir es mal durch:
>
> 3r + 1s + at = 0
> 1r + 0s + 4t = 0
> ar + 4s + 1t = 0
>
> Ok, gehen wir mal nach dem o.g. Prinzip vor.
>
> Alle Gleichungen haben eine Variable direkt dastehen. Davon
> ist die 2. diejenige mit weniger Variablen, also nehmen wir
> erstmal die und formen die um.
>
> r = -4t
>
> Nun haben wir noch eine Gleichung, wo eine Variable direkt
> drinsteht, die 1. also setzen wir da ein: (man könnte
> natürlich auch in die 3. Einsetzen und dann nach t
> Umformen ;-) )
>
> 3(-4t) + 1s + at = 0
>
> Umformen:
>
> s = (12 - a)t
>
>
> Und in die Dritte einsetzen:
>
> a(-4t) + 4(12-a)t + 1t = 0
>
> Umformen:
>
> -4at + 48t - 4at + t = 0
>
> (49 - 8a)t = 0
>
>
> Soooooooooo, die Vektoren sollen nun linear abhängig sein,
> d.h. es muss mindestens noch eine Lösung des
> Gleichungssystem geben, die verschieden der trivialen
> Lösung r=s=t=0 ist, also soll [mm]t\not=0[/mm] gelten.
> Also muss gelten, damit die Gleichung erfüllt ist:
>
> (49-8a) = 0
>
> [mm]a = \bruch {49}{8}[/mm]
>
> Fertig :-)  

Du hast nun den anderen Beitrag hierher kopiert? Was bringt dir das????

Schreib doch bitte DEINE Rechnungen hier rein. (Habe dir ja auch schon 'nen Ansatz gegeben!)

Bedenke auch, dass bei dir ein [mm] $a^2$ [/mm] auftaucht. Das heisst, ab irgendeiner Stelle wird es wohl auf die pq Formel hinauslaufen....


Bezug
                        
Bezug
Abhängigkeit von Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Mi 21.10.2015
Autor: abakus


> Bedenke auch, dass bei dir ein [mm]a^2[/mm] auftaucht. Das heisst,
> ab irgendeiner Stelle wird es wohl auf die pq Formel
> hinauslaufen....

>
Hier geht es ohne pq-Formel.
Der erste Vektor als Linearkombination der anderen beiden liefert folgendes Gleichungssystem:
(1) 1=2r+s
(2) a=8r+s
(3) a²=18r+s
Differenzbildung liefert:
(2)-(1): a-1=6r
(3)-(2): a²-a=10r
Man beachte, dass a²-a=a(a-1) ist.
Für a=1 muss r=0 gelten.
Für alle anderen a kann man den Quotienten der beiden Differenzen bilden.
Gruß Abakus

Bezug
                                
Bezug
Abhängigkeit von Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Mi 21.10.2015
Autor: Chris84


>
> > Bedenke auch, dass bei dir ein [mm]a^2[/mm] auftaucht. Das heisst,
>  > ab irgendeiner Stelle wird es wohl auf die pq Formel

>  > hinauslaufen....

>  >
>  Hier geht es ohne pq-Formel.
>  Der erste Vektor als Linearkombination der anderen beiden
> liefert folgendes Gleichungssystem:
>  (1) 1=2r+s
>  (2) a=8r+s
>  (3) a²=18r+s
>  Differenzbildung liefert:
>  (2)-(1): a-1=6r
>  (3)-(2): a²-a=10r
>  Man beachte, dass a²-a=a(a-1) ist.
>  Für a=1 muss r=0 gelten.
>  Für alle anderen a kann man den Quotienten der beiden
> Differenzen bilden.
>  Gruß Abakus

Na guuuuuuuuut,
ueberredet ^^

Ich selbst hatte es nicht nachgerechnet und pq geht immer ;)

Gruss,
Chris

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Abhängigkeit von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:09 Do 22.10.2015
Autor: fred97

Schreibe die 3 Vektoren als Spalten einer 3x3 - Matrix [mm] A_a. [/mm]

Bestimme nun a so, dass [mm] det(A_a)=0 [/mm] ist.

FRED

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