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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mi 19.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Auf dem Spielplatz soll eine Seilbahn gebaut werden. Dazu wurden zwei lotrechte Stützpfosten in den Punkten [mm] S_1 [/mm] (3 / 1,5 / 0) und [mm] S_2 [/mm] (12 / 6 / 0) errichtet, zwischen denen ein Stahlseil so straff gespannt werden soll, dass von einem geradlinigen Verlauf ausgegangen werden kann. Der erste Stützpfosten bei [mm] S_1 [/mm] ist 4 m hoch, der zweite Pfosten bei [mm] S_2 [/mm] ist 3 m hoch.
Das Stahlseil wird im Handel in einer Länge von 30 m angeboten.
a) Sowohl das Seil als auch der waagerechte Schaukelbalken sollen knickfrei so verlängert werden, dass sie an einem gemeinsamen Stützpfosten mit dem Fußpunkt [mm] S_3 [/mm] (allerdings in unterschiedlicher Höhe) befestigt werden können. ermitteln Sie die Position des Fußpunktes des dritten Stützpfostens sowie die erforderliche Pfostenlänge.
Zusatzinformation nach Besprechung mit Kommilitonen
Der Schaukelbalken verläuft in 2,5m Höhe entlang der Geraden
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 2,5} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
b) Alternativ zu einem dritten Stützpfosten wird diskutiert, das Seil knickfrei in die entgegengesetzte Richtung weiterzuführen und im Boden zu verankern. Beurteilen Sie, ob die Seilbahn so gebaut werden kann.
c) Wird das Stahlseil zwischen [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2 [/mm] nicht straff gespannt, so hängt es nach unten durch. Berechnen Sie den maximalen Durchhang (das ist der vertikale Abstand des gebogenen zum geradlinigen Seil, s. Abbildung), wenn die Form des durchhängenden Seils beschrieben wird durch eine Exponentialfunktion f mit der Gleichung
f(x) = [mm] a*e^{0,25*x} [/mm] + [mm] b*e^{-0,25*x} [/mm] mit x, a, b [mm] \in \IR
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Moin Moin,
zu a)
Was ist mit "waagerechter Schaukelbalken" gemeint, wie kann ich mir das vorstellen??? Und in welcher Höhe verläuft dieser waagerechte Schaukelbalken???
Was ich im Moment erkenne: Das Seil geht durch die Punkte [mm] P_1 [/mm] (3 / 1,5 / 4) und [mm] P_2 [/mm] (12 / 6 / 3) und daraus kann ich eine Geradengleichung aufstellen...
Dabei gehe ich davon aus, dass ich von oben nach unten gleite... (?!)
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1,5 \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{9 \\ 4,5 \\ -1}
[/mm]
... wie gesagt mir ist unklar, in welcher Richtung nun [mm] P_3 [/mm] (bzw. [mm] S_3) [/mm] liegen soll???
Eine Idee ist (wobei ich den waagerechten Schaukelbalken nicht berücksichtige --- ???), da ich 30m Seil zur Verfügung habe... ich normiere den Richtungsvektor der Geraden | [mm] \vektor{9\\ 4,5 \\ -1} [/mm] | [mm] \approx [/mm] 10,11
=> [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1,5 \\ 4} [/mm] + [mm] \bruch{\lambda}{10,11}*\vektor{9 \\ 4,5 \\ -1}
[/mm]
Wenn ich nun für [mm] \lambda [/mm] +30 oder -30 einsetze, erhalte ich einen Punkt, der 30 m von [mm] P_1 [/mm] entfernt ist.
[mm] P_{3+} [/mm] (29,71 \ 14,85 \ 1,03) [mm] P_{3-} [/mm] (-23,71 \ -11,85 \ 6,97)
Daraus würden sich die erforderlichen Pfostenlängen (1,03m bzw. 6,97m) ergeben.
???
zu b) Wenn das Seil im Boden (im Punkt [mm] P_4) [/mm] verankert werden soll, dann muss z=0 sein. D.h.
z = 4 + [mm] \bruch{\lambda}{10,11}*(-1) [/mm] = 0 => [mm] \lambda [/mm] = 40,44
D.h. die Entfernung zwischen [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_4 [/mm] wäre dann ca. 40,44m. Bei einer Seillänge von 30m ist diese Variante nicht durchführbar.
Richtig?
zu c) Da beide Seile (das straffe gespannte und das durchhängende) in einer Ebene liegen, kann ich das Problem in einem zweidimensionalen Koordinatensystem bearbeiten.
Also hier würde ich eine Geradengleichung in der Form y = mx +b aufstellen und mein (zweidimensionales) Koordinatensystem so verschieben, dass [mm] Q_1 P_1 [/mm] entspricht und [mm] Q_2 P_2 [/mm] entspricht. Dann würde ich die beiden Punkte [mm] (Q_1 [/mm] und [mm] Q_2) [/mm] in f einsetzen und so a und b berechnen.
Ich wähle [mm] Q_1 [/mm] (0 \ 0 ) und [mm] Q_2 [/mm] (10,06 \ -1)
Grundlage meiner Überlegung ist ein rechtwinkliges Dreieck, dass durch [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] und durch die Parallele zu [mm] S_1S_2 [/mm] festgelegt wird.
Danach würde ich die Differenzfunktion d(x) = y - f(x) bilden und den Extremwert bestimmen.
Ist das möglich?
Danke für eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mi 19.06.2019 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) wenn es keine Zeichnung gibt weiss ich auch nicht was dabei ein waagerechter "Schaukelbalken" sein soll, ea sei denn er ist oben waagerecht an S2 angebracht.
das Seil ist insgesamt 30m lang, davon ist das erste Stück zwischen S1 und S2m und geht von da aus bis S3 also noch ca 20m. du musst die Strecke also um dieses Stück in geradenrichtung verlängern, Länge * Einheitsvektor ist die richtige Idee, aber die Richtung ist von S1 nach S2 nach S3. wenn man einen waagerechten Balken an S2 oben waagerecht verlängert kommt er wohl in der Höhe von S2 an..
die Aufgabe b) allerdings suggeriert, dass S3 in Richtung S2 nach S1 geht, dann nur in Richtung S1 nach S2 kann man überhaupt hoffen, zum Boden zu kommen.
(allerdings ist die Idee eine noch höheren Pfahl als S1 zu bauen für den Spielplatz völlig absurd.
aber was sonst in entgegengesetzter Richtung heissen soll, weiss ich nicht.
für die letzte Aufgabe hast du die richtige Idee.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Do 20.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
erstmal: vielen Dank für deine Antwort!
zu a)
Nach Besprechung mit Kommilitonen
Der Schaukelbalken hat die Höhe 2,5m und verläuft entlang der Geraden
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 2,5} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Der dritte Stützpfosten muss mindestens 2,5m hoch sein.
1. Fall
Vorausgesetzt die Länge des Seils zwischen [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_3 [/mm] beträgt genau 30m . Dann ist es der Punkt [mm] P_{3-} [/mm] (-23,71 \ -11,85 \ 6,97) bzw. [mm] S_3 [/mm] (-23,71 \ -11,85 \ 0), da [mm] P_{3+} [/mm] (29,71 \ 14,85 \ 1,03) eine zu geringe Höhe hat.
Die erforderliche Pfostenlänge würde dann 6,97m betragen.
2. Fall
Ich gehe davon aus, dass die Länge des Seils zwischen [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_3 [/mm] nicht genau 30m beträgt. Ich stelle folgende Überlegungen an:
Die Gerade i, die durch [mm] S_3 [/mm] geht und senkrecht nach oben verläuft, muss sowohl g als auch h schneiden. Wobei [mm] S_3 (s_x [/mm] \ [mm] s_y [/mm] \ 0) zu bestimmen ist.
i: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{s_x \\ s_y \\ 0} [/mm] + [mm] \gamma*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Schnittpunkt mit h bestimmen
[mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 2,5} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0 \\ 4 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{s_x \\ s_y \\ 0} [/mm] + [mm] \gamma*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
I. 1 = [mm] s_x
[/mm]
II. 4 + [mm] 4*\mu [/mm] = [mm] s_y [/mm]
III. 2,5 = [mm] \gamma [/mm]
Schnittpunkt mit g
[mm] \vektor{3 \\ 1,5 \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{9 \\ 4,5 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{s_x \\ s_y \\ 0} [/mm] + [mm] \gamma*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
I. 3 [mm] +9*\lambda [/mm] = [mm] s_x [/mm] = 1 d.h. [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \bruch{2}{9} [/mm]
II. 1,5 + [mm] 4,5*\lambda [/mm] = [mm] s_y [/mm] d.h. [mm] s_y [/mm] = 1,5 [mm] +4,5*(-\bruch{2}{9}) [/mm] = 0,5
III. 4 - [mm] \lambda [/mm] = [mm] \gamma [/mm] Achtung: unterschiedliche Höhe lt. Aufgabenstellung!!
4 [mm] -(-\bruch{2}{9}) [/mm] = 4,22m.
Demnach wäre [mm] S_3 [/mm] (1 [mm] \\ [/mm] 0,5 [mm] \\ [/mm] 0) bzw. [mm] P_3 [/mm] (1 [mm] \\ [/mm] 0,5 [mm] \\ [/mm] 4,22)
zu b)
Wenn a) stimmig ist, wovon ich in beiden Varianten jetzt ausgehe, dann ergibt auch die Formulierung "in die entgegengesetzte Richtung" Sinn. Lösung s.o.
zu c)
1. Ich stelle die Geradengleichung in der Form y=mx +b auf.
Unter Zuhilfenahme eines rechtwinkligen Dreiecks (s.o.)
m = [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x}
[/mm]
| [mm] \overrightarrow{P_1P_2} [/mm] | = 10,11 (s.o.)
[mm] \Delta [/mm] y = -1
[mm] \Delta [/mm] x = [mm] \wurzel{10,11^2 -(-1)^2} [/mm] = 10,06
m = [mm] \bruch{-1}{10,06} [/mm] = -0,099
Ich wähle für den Ursprung meines zweidimensionalen Koordinatensystems
[mm] Q_1 [/mm] (0 \ 0) und damit liegt [mm] Q_2 [/mm] mit (10,06 \ -1) fest.
y = -0,099*x
2. Ich bestimme die Parameter a und b
[mm] Q_1 [/mm] in f einsetzen 0 = a + b
[mm] Q_2 [/mm] in f einsetzen -1 = [mm] a*e^{0,25*10,06} +b*e^{-0,25*10,06}
[/mm]
a = -b => - 1 = -12,37*b+0,08*b
b = 0,08 => a = -0,08
f(x) = [mm] -0,08*e^{0,25*x} +0,08*e^{-0,25*x}
[/mm]
3. Differenzfunktion bilden
d(x) = y - f(x)
d(x) = -0,099*x - [mm] (-0,08*e^{0,25*x} +0,08*e^{-0,25*x})
[/mm]
d(x) = -0,099*x [mm] +0,08*e^{0,25*x} -0,08*e^{-0,25*x}
[/mm]
4. Extremwert berechnen
d ' (x) = -0,099 [mm] +0,02*e^{0,25*x} +0,02*e^{-0,25*x}
[/mm]
d '' (x) = [mm] +0,005*e^{0,25*x} -0,005*e^{-0,25*x}
[/mm]
d ' (x) = 0 mit z = [mm] e^{0,25x} [/mm] => [mm] z_1 [/mm] = 4,87 und [mm] z_2 [/mm] = 0,02
bzw. [mm] x_1 [/mm] = 6,33 [mm] x_2 [/mm] = -15,65 (Im Prinzip würde ich die Lösungen im Intervall 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 10,06 erwarten; daher würde ich -15,65 ausschließen?!)
d(6,33) = -0,25 bzw. => 0,25 m
Problem: [mm] x_1 [/mm] = 6,33 ist jetzt ein Minimum, da d '' (6,33) > 0 !! ???
Irgendetwas scheint hier noch nicht ganz korrekt zu sein???
Danke für eure Hilfe!
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> Moin!
>
> erstmal: vielen Dank für deine Antwort!
>
> zu a)
>
> Nach Besprechung mit Kommilitonen
> [color=blue] [/color]
> Der Schaukelbalken hat die Höhe 2,5m und verläuft entlang
> [color=blue]der Geraden [/color]
>
> h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 2,5}[/mm] + [mm]\mu*\vektor{0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
>
>
> Der dritte Stützpfosten muss mindestens 2,5m hoch sein.
Hallo,
ja logo, kürzer darf er nicht sein,
aber ich glaube, sie wollen von Dir wissen, wie lang er mindestens sein muß, damit man beide Seile befestigen kann.
Die Antwort findest Du ja später.
>
>
> 1. Fall
>
> Vorausgesetzt die Länge des Seils zwischen [mm]S_1[/mm] und [mm]S_3[/mm]
> beträgt genau 30m . Dann ist es der Punkt [mm]P_{3-}[/mm] (-23,71
> \ -11,85 \ 6,97) bzw. [mm]S_3[/mm] (-23,71 \ -11,85 \ 0), da [mm]P_{3+}[/mm]
> (29,71 \ 14,85 \ 1,03) eine zu geringe Höhe hat.
>
> Die erforderliche Pfostenlänge würde dann 6,97m
> betragen.
Hier habe ich nichts nachgerechnet.
Du hast ausgerechnet, wo die Pfosten stehen müssen, wenn das Seil exakt 30m lang sein soll.
Es ist aber mehr als fraglich, ob der Schaukelbalken hier auch vorbeikommt...
>
>
> 2. Fall
> Ich gehe davon aus, dass die Länge des Seils zwischen [mm]S_1[/mm]
> und [mm]S_3[/mm] nicht genau 30m beträgt. Ich stelle folgende
> Überlegungen an:
>
> Die Gerade i, die durch [mm]S_3[/mm] geht und senkrecht nach oben
> verläuft, muss sowohl g als auch h schneiden. Wobei [mm]S_3 (s_x[/mm]
> \ [mm]s_y[/mm] \ 0) zu bestimmen ist.
>
> i: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{s_x \\ s_y \\ 0}[/mm] + [mm]\gamma*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Schnittpunkt mit h bestimmen
>
> [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 2,5}[/mm] + [mm]\mu*\vektor{0 \\ 4 \\ 0}[/mm] =
> [mm]\vektor{s_x \\ s_y \\ 0}[/mm] + [mm]\gamma*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> I. 1 = [mm]s_x[/mm]
> II. 4 + [mm]4*\mu[/mm] = [mm]s_y[/mm]
> III. 2,5 = [mm]\gamma[/mm]
>
> Schnittpunkt mit g
>
> [mm]\vektor{3 \\ 1,5 \\ 4}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{9 \\ 4,5 \\ -1}[/mm] =
> [mm]\vektor{s_x \\ s_y \\ 0}[/mm] + [mm]\gamma*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> I. 3 [mm]+9*\lambda[/mm] = [mm]s_x[/mm] = 1 d.h. [mm]\lambda[/mm] = - [mm]\bruch{2}{9}[/mm]
>
> II. 1,5 + [mm]4,5*\lambda[/mm] = [mm]s_y[/mm] d.h. [mm]s_y[/mm] = 1,5
> [mm]+4,5*(-\bruch{2}{9})[/mm] = 0,5
> III. 4 - [mm]\lambda[/mm] = [mm]\gamma[/mm] Achtung: unterschiedliche
> Höhe lt. Aufgabenstellung!!
>
> 4 [mm]-(-\bruch{2}{9})[/mm] = 4,22m.
>
> Demnach wäre [mm]S_3[/mm] (1 [mm]\\[/mm] 0,5 [mm]\\[/mm] 0) bzw. [mm]P_3[/mm] (1 [mm]\\[/mm] 0,5 [mm]\\[/mm]
> 4,22)
Ja, das habe ich auch ausgerechnet. Fußpunkt [mm] S_3 [/mm] bei (1|0.5|0),
das Seil der Seilbahn wird in einer Höhe von 4.22m befestigt, das des Schaukelbalkens auf 2.50m.
Also muß dieser Pfosten mindestens 4.22m lang sein.
>
> zu b)
>
> Wenn a) stimmig ist, wovon ich in beiden Varianten jetzt
> ausgehe, dann ergibt auch die Formulierung "in die
> entgegengesetzte Richtung" Sinn. Lösung s.o.
Du hast festgestellt, daß bei dem 30m langen Seil auf einer Höhe von 1.03m Schluß ist.
Also klappt es nicht, das Seil knickfrei im Boden zu verankern.
Ich habe mir den Durchstoßpunkt in der xy-Ebene ausgerechnet, und dann die nötige Seillänge,
bin aber auch zu dem Ergebnis gekommen, daß es nicht geht.
LG Angela
>
>
>
> zu c)
>
> 1. Ich stelle die Geradengleichung in der Form y=mx +b
> auf.
>
> Unter Zuhilfenahme eines rechtwinkligen Dreiecks (s.o.)
>
> m = [mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
>
> | [mm]\overrightarrow{P_1P_2}[/mm] | = 10,11 (s.o.)
>
> [mm]\Delta[/mm] y = -1
>
> [mm]\Delta[/mm] x = [mm]\wurzel{10,11^2 -(-1)^2}[/mm] = 10,06
>
> m = [mm]\bruch{-1}{10,06}[/mm] = -0,099
>
>
> Ich wähle für den Ursprung meines zweidimensionalen
> Koordinatensystems
>
> [mm]Q_1[/mm] (0 \ 0) und damit liegt [mm]Q_2[/mm] mit (10,06 \ -1) fest.
>
> y = -0,099*x
>
> 2. Ich bestimme die Parameter a und b
>
> [mm]Q_1[/mm] in f einsetzen 0 = a + b
>
> [mm]Q_2[/mm] in f einsetzen -1 = [mm]a*e^{0,25*10,06} +b*e^{-0,25*10,06}[/mm]
>
> a = -b => - 1 = -12,37*b+0,08*b
>
> b = 0,08 => a = -0,08
>
> f(x) = [mm]-0,08*e^{0,25*x} +0,08*e^{-0,25*x}[/mm]
>
>
> 3. Differenzfunktion bilden
>
> d(x) = y - f(x)
>
> d(x) = -0,099*x - [mm](-0,08*e^{0,25*x} +0,08*e^{-0,25*x})[/mm]
>
> d(x) = -0,099*x [mm]+0,08*e^{0,25*x} -0,08*e^{-0,25*x}[/mm]
>
>
> 4. Extremwert berechnen
>
> d ' (x) = -0,099 [mm]+0,02*e^{0,25*x} +0,02*e^{-0,25*x}[/mm]
>
> d '' (x) = [mm]+0,005*e^{0,25*x} -0,005*e^{-0,25*x}[/mm]
>
> d ' (x) = 0 mit z = [mm]e^{0,25x}[/mm] => [mm]z_1[/mm] = 4,87 und
> [mm]z_2[/mm] = 0,02
>
> bzw. [mm]x_1[/mm] = 6,33 [mm]x_2[/mm] = -15,65 (Im Prinzip würde ich die
> Lösungen im Intervall 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 10,06 erwarten; daher
> würde ich -15,65 ausschließen?!)
>
> d(6,33) = -0,25 bzw. => 0,25 m
>
>
> Problem: [mm]x_1[/mm] = 6,33 ist jetzt ein Minimum, da d '' (6,33) >
> 0 !! ???
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>
> Irgendetwas scheint hier noch nicht ganz korrekt zu
> sein???
>
> Danke für eure Hilfe!
>
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> Unter Zuhilfenahme eines rechtwinkligen Dreiecks (s.o.)
>
> m = [mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
>
> | [mm]\overrightarrow{P_1P_2}[/mm] | = 10,11 (s.o.)
>
> [mm]\Delta[/mm] y = -1
>
> [mm]\Delta[/mm] x = [mm]\wurzel{10,11^2 -(-1)^2}[/mm] = 10,06
>
> m = [mm]\bruch{-1}{10,06}[/mm] = -0,099
>
>
> Ich wähle für den Ursprung meines zweidimensionalen
> Koordinatensystems
>
> [mm]Q_1[/mm] (0 \ 0) und damit liegt [mm]Q_2[/mm] mit (10,06 \ -1) fest.
>
> y = -0,099*x
>
> 2. Ich bestimme die Parameter a und b
>
> [mm]Q_1[/mm] in f einsetzen 0 = a + b
>
> [mm]Q_2[/mm] in f einsetzen -1 = [mm]a*e^{0,25*10,06} +b*e^{-0,25*10,06}[/mm]
Das paßt nicht zu der in der Aufgabenstellung geposteten Funktion.
LG Angela
>
> a = -b => - 1 = -12,37*b+0,08*b
>
> b = 0,08 => a = -0,08
>
> f(x) = [mm]-0,08*e^{0,25*x} +0,08*e^{-0,25*x}[/mm]
>
>
> 3. Differenzfunktion bilden
>
> d(x) = y - f(x)
>
> d(x) = -0,099*x - [mm](-0,08*e^{0,25*x} +0,08*e^{-0,25*x})[/mm]
>
> d(x) = -0,099*x [mm]+0,08*e^{0,25*x} -0,08*e^{-0,25*x}[/mm]
>
>
> 4. Extremwert berechnen
>
> d ' (x) = -0,099 [mm]+0,02*e^{0,25*x} +0,02*e^{-0,25*x}[/mm]
>
> d '' (x) = [mm]+0,005*e^{0,25*x} -0,005*e^{-0,25*x}[/mm]
>
> d ' (x) = 0 mit z = [mm]e^{0,25x}[/mm] => [mm]z_1[/mm] = 4,87 und
> [mm]z_2[/mm] = 0,02
>
> bzw. [mm]x_1[/mm] = 6,33 [mm]x_2[/mm] = -15,65 (Im Prinzip würde ich die
> Lösungen im Intervall 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 10,06 erwarten; daher
> würde ich -15,65 ausschließen?!)
>
> d(6,33) = -0,25 bzw. => 0,25 m
>
>
> Problem: [mm]x_1[/mm] = 6,33 ist jetzt ein Minimum, da d '' (6,33) >
> 0 !! ???
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>
> Irgendetwas scheint hier noch nicht ganz korrekt zu
> sein???
>
> Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Do 20.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
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> > Unter Zuhilfenahme eines rechtwinkligen Dreiecks (s.o.)
> >
> > m = [mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
> >
> > | [mm]\overrightarrow{P_1P_2}[/mm] | = 10,11 (s.o.)
> >
> > [mm]\Delta[/mm] y = -1
> >
> > [mm]\Delta[/mm] x = [mm]\wurzel{10,11^2 -(-1)^2}[/mm] = 10,06
> >
> > m = [mm]\bruch{-1}{10,06}[/mm] = -0,099
> >
> >
> > Ich wähle für den Ursprung meines zweidimensionalen
> > Koordinatensystems
> >
> > [mm]Q_1[/mm] (0 \ 0) und damit liegt [mm]Q_2[/mm] mit (10,06 \ -1) fest.
> >
> > y = -0,099*x
> >
> > 2. Ich bestimme die Parameter a und b
> >
> > [mm]Q_1[/mm] in f einsetzen 0 = a + b
> >
> > [mm]Q_2[/mm] in f einsetzen -1 = [mm]a*e^{0,25*10,06} +b*e^{-0,25*10,06}[/mm]
>
> Das paßt nicht zu der in der Aufgabenstellung geposteten
> Funktion.
>
>
> LG Angela
Aha, und inwieweit passt das nicht zur geposteten Funktion?
Falls du die Zeichnung meinst, die habe ich genau so vom Aufgabenblatt abgezeichnet. Da würde ich auf den ersten Blick denken, dass [mm] S_2 [/mm] höher liegt als [mm] S_1, [/mm] was aber nicht der Fall ist. Oder meinst du etwas anderes?
LG
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> > > [mm]Q_1[/mm] in f einsetzen 0 = a + b
> > >
> > > [mm]Q_2[/mm] in f einsetzen -1 = [mm]a*e^{0,25*10,06} +b*e^{-0,25*10,06}[/mm]
>
> >
> > Das paßt nicht zu der in der Aufgabenstellung geposteten
> > Funktion.
> >
> >
> > LG Angela
>
> Aha, und inwieweit passt das nicht zur geposteten Funktion?
Du schreibst eingangs
f(x) = [mm] a\cdot{}e^{0,5+x} [/mm] + [mm] b\cdot{}e^{-0,25\cdot{}x} [/mm] mit x, a, b [mm] \in \IR [/mm]
und arbeitest nun meinem Verständnis nach mit
[mm] f(x)=a*e^{0.25x}+b^{-0.25x}
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Do 20.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
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> Du schreibst eingangs
> f(x) = [mm]a\cdot{}e^{0,5+x}[/mm] + [mm]b\cdot{}e^{-0,25\cdot{}x}[/mm]
> mit x, a, b [mm]\in \IR[/mm]
>
> und arbeitest nun meinem Verständnis nach mit
> [mm]f(x)=a*e^{0.25x}+b^{-0.25x}[/mm]
>
> LG Angela
Upps! Mein Fehler!! Das ist natürlich ein Widerspruch.
Ich habe das schon in der Aufgabenstellung korrigiert.
Gemeint war: f(x) = [mm] a*e^{0,25*x} [/mm] + [mm] b*e^{-0,25*x} [/mm]
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> 1. Ich stelle die Geradengleichung in der Form y=mx +b
> auf.
>
> Unter Zuhilfenahme eines rechtwinkligen Dreiecks (s.o.)
>
> m = [mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
>
> | [mm]\overrightarrow{P_1P_2}[/mm] | = 10,11 (s.o.)
>
> [mm]\Delta[/mm] y = -1
>
> [mm]\Delta[/mm] x = [mm]\wurzel{10,11^2 -(-1)^2}[/mm] = 10,06
>
> m = [mm]\bruch{-1}{10,06}[/mm] = -0,099
>
>
> Ich wähle für den Ursprung meines zweidimensionalen
> Koordinatensystems
>
> [mm]Q_1[/mm] (0 \ 0) und damit liegt [mm]Q_2[/mm] mit (10,06 \ -1) fest.
>
> y = -0,099*x
>
> 2. Ich bestimme die Parameter a und b
>
> [mm]Q_1[/mm] in f einsetzen 0 = a + b
>
> [mm]Q_2[/mm] in f einsetzen -1 = [mm]a*e^{0,25*10,06} +b*e^{-0,25*10,06}[/mm]
>
> a = -b => - 1 = -12,37*b+0,08*b
>
> b = 0,08 => a = -0,08
>
> f(x) = [mm]-0,08*e^{0,25*x} +0,08*e^{-0,25*x}[/mm]
Das ist richtig gerechnet, aber...
...plotte Dir die Funktion mal, dann siehst Du, daß sie zwar die Gerade an den richtigen Stellen schneidet, aber ein hängendes Seil beschreibt sie nicht.
Verschieb Dein Koordinatensystem mal so, daß die Pfostenenden nicht unterhalb der x-Achse liegen,
etwa bei (0/1) und (10.06/0).
Dann rechne nochmal, und Du wirst sehen, dann paßt alles.
Die Vorgehensweise mit der Differenzfunktion usw. ist richtig.
LG Angela
>
>
> 3. Differenzfunktion bilden
>
> d(x) = y - f(x)
>
> d(x) = -0,099*x - [mm](-0,08*e^{0,25*x} +0,08*e^{-0,25*x})[/mm]
>
> d(x) = -0,099*x [mm]+0,08*e^{0,25*x} -0,08*e^{-0,25*x}[/mm]
>
>
> 4. Extremwert berechnen
>
> d ' (x) = -0,099 [mm]+0,02*e^{0,25*x} +0,02*e^{-0,25*x}[/mm]
>
> d '' (x) = [mm]+0,005*e^{0,25*x} -0,005*e^{-0,25*x}[/mm]
>
> d ' (x) = 0 mit z = [mm]e^{0,25x}[/mm] => [mm]z_1[/mm] = 4,87 und
> [mm]z_2[/mm] = 0,02
>
> bzw. [mm]x_1[/mm] = 6,33 [mm]x_2[/mm] = -15,65 (Im Prinzip würde ich die
> Lösungen im Intervall 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 10,06 erwarten; daher
> würde ich -15,65 ausschließen?!)
>
> d(6,33) = -0,25 bzw. => 0,25 m
>
>
> Problem: [mm]x_1[/mm] = 6,33 ist jetzt ein Minimum, da d '' (6,33) >
> 0 !! ???
>
>
> Irgendetwas scheint hier noch nicht ganz korrekt zu
> sein???
>
> Danke für eure Hilfe!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 20.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
> Verschieb Dein Koordinatensystem mal so, daß die
> Pfostenenden nicht unterhalb der x-Achse liegen,
> etwa bei (0/1) und (10.06/0).
> Dann rechne nochmal, und Du wirst sehen, dann paßt
> alles.
Erstmal vielen Dank!!
Ich fange mal an...
1. Ich stelle die Geradengleichung in der Form y=mx +b auf.
Unter Zuhilfenahme eines rechtwinkligen Dreiecks (s.o.)
m = [mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}[/mm]
[mm]\overrightarrow{P_1P_2}[/mm] | = 10,11 (s.o.)
[mm]\Delta[/mm] y = -1
[mm]\Delta[/mm] x = [mm]\wurzel{10,11^2 -(-1)^2}[/mm] = 10,06
m = [mm]\bruch{-1}{10,06}[/mm] = -0,099
... soweit alles wie gehabt.
Ich wähle zwei Punkte für mein zweidimensionales Koordinatensystem, die die beiden Pfostenenden [mm] (P_1 [/mm] und [mm] P_2) [/mm] repräsentieren, so, dass diese nicht unterhalb der x-Achse liegen.
Ich wähle
[mm]Q_1[/mm] (0 \ 1) und damit liegt [mm]Q_2[/mm] mit (10,06 \ 0) fest.
y = -0,099*x +1
2. Ich bestimme die Parameter a und b
[mm]Q_1[/mm] in f einsetzen a + b = 1
[mm]Q_2[/mm] in f einsetzen [mm]a*e^{0,25*10,06} +b*e^{-0,25*10,06}[/mm] = 0
12,37a + 0,08b = 0
a = 1 -b => 12,37 -12,37*b+0,08*b = 0
b = 1,01 => a = -0,01
f(x) = [mm]-0,01*e^{0,25*x} +1,01*e^{-0,25*x}[/mm]
3. Differenzfunktion bilden
d(x) = y - f(x)
d(x) = -0,099*x +1 - [mm](-0,01*e^{0,25*x} +1,01*e^{-0,25*x})[/mm]
d(x) = -0,099*x + 1[mm]+0,01*e^{0,25*x} -1,01*e^{-0,25*x}[/mm]
4. Extremwert berechnen
d ' (x) = -0,099 [mm]+0,0025*e^{0,25*x} +0,2525*e^{-0,25*x}[/mm]
d '' (x) = [mm]+0,000625*e^{0,25*x} -0,063125*e^{-0,25*x}[/mm]
d ' (x) = 0 Substitution z = [mm] e^{0,25x}
[/mm]
0,0025*z + [mm] 0,2525*\bruch{1}{z} [/mm] -0,099 = 0
[mm] 0,0025*z^2 [/mm] -0,099*z +0,2525 = 0
[mm] z_1 [/mm] = 36,86 [mm] z_2 [/mm] = 2,74
=> [mm] x_1 [/mm] = 14,43 [mm] x_2 [/mm] = 4,03
Der lokale Extremwert muss im Intervall 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 10,06 liegen. Daher fällt [mm] x_2 [/mm] als Lösung weg.
d '' (4,03) = -0,02 <0 => Maximum bei x= 4,03
d(6,33) = 0,2596 bzw. => 0,26 m
?!
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Moin,
ja,so paßt es. Ich hab' nicht ganz so krass gerundet, deshalb sind meine Ergebnisse geringfügig(!) anders.
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War da bei der originalen Aufgabenstellung (wenn das wirk-
lich eine Abi-Aufgabe gewesen sein soll) nicht noch eine
(vernünftige) Zeichnung dabei ?
Andernfalls wäre mein Urteil über diese kaum verständliche
Aufgabenstellung: unbrauchbarer Schrott, und eine Zumutung
für alle, die diese Aufgabe lösen mussten bzw. hätten lösen
sollen.
Al-Chwarizmi
(ich habe 35 Jahre lang am Gymnasium Mathematik unterrichtet
und war selber auch an hunderten Abi-Aufgaben mit beteiligt)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Do 20.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
Tja, was soll ich dazu sagen?
Nein, es gab nur die angehängte Skizze, die ich vollständig (!) abgezeichnet, eingescannt und hie rgepostet habe.
Gut, es gab noch einen Aufgabenteil, bei dem es um eine Schaukel ging... auch hierzu keine Zeichnung... allerdings konnte man dieser Schaukelaufgabe den "Schaukelbalken" entnehmen...
Nachdem ich mich nun ca. 8 - 10 Stunden mit dieser Aufgabe beschäftigt habe, ist mir einiges klarer geworden; also wie die Aufgabenstellung wohl gemeint ist.
Aber da wäre ich im Abitur sicher dran gescheitert. ^^
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Naja, eine Seilbahn mit Schaukelbalken habe ich halt
in meinem bisherigen Leben noch nirgends angetroffen,
darum fehlen mir wohl die dafür notwendigen geometrischen
Vorstellungen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Do 20.06.2019 | | Autor: | hase-hh |
Das habe ich auch lange nicht verstanden.
Es geht um einen Spielplatz auf dem eine Schaukel und eine Seilbahn gebaut werden soll. Und wie gesagt, um die Schaukel geht es in dem anderen Aufgabenteil (hier unwichtig)... Nicht mal nach Lösen dieses Aufgabenteils bin ich darauf gekommen, was um Himmels Willen mit "Schaukelbalken" gemeint ist. Wie gut, dass man im Internet danach googlen kann... Ein Schaukelbalken ist der obere Balken eines Schaukelgerüstes, an dem die Schaukeln befestigt werden.
Ich habe daher ergänzend die Geradengleichung gepostet, in der dieser Schaukelbalken liegt.
Wie gesagt, wäre ich in der Abi-Prüfung nicht drauf gekommen...
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> Naja, eine Seilbahn mit Schaukelbalken habe ich halt
> in meinem bisherigen Leben noch nirgends angetroffen,
> darum fehlen mir wohl die dafür notwendigen geometrischen
> Vorstellungen ...
Al Chwarizmi,
ich habe solch ein Konstrukt wie beschrieben zwar auch noch nicht in natura gesehen, aber ich habe mit meinen Kindern in der Vergangenheit so viele Stunden auf Spielplätzen verbracht, daß ich es mir tatsächlich ohne Mühe vorstellen konnte.
Endlich habe ich Dir mal was voraus...![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]")
Es ist aber wieder einmal so eine typisch bescheuerte Aufgabe, wo man sich viel Mühe gegeben hat, das, was man abprüfen möchte, krampfhaft einzukleiden.
LG Angela
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