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| Aufgabe | Bei einer Tierpopulation sind durchschnittlich 3 % der Tiere mit dem Erreger einer Krankheit K infiziert. Die Zufallsgröße, die die Anzahl der infizierten Tiere in einer Stichprobe angibt, wird als binomialverteilt angenommen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
- in einer Herde von 50 Tieren mindestens vier Tiere;
- in einem Bestand von 420 Tieren höchstens 10 Tiere
infiziert sind.
b) Berechnen Sie die Mindestgröße einer Herde, bei der mit mindestens 95 % Wahr-scheinlichkeit mindestens ein Tier infiziert ist.
c) Bei einem Blutschnelltest werden 85 % der infizierten Tiere als solche erkannt. Irr-tümlich werden aber auch 20 % der nicht infizierten Tiere durch den Test als infiziert eingestuft.
Nach dem Schnelltest wird ein Tier als nicht infiziert eingestuft.
Weisen Sie nach, dass dann das Tier mit weniger als 1 % Wahrscheinlichkeit tat-sächlich infiziert ist.
d) Das verstärkte Auftreten der Krankheit K lässt Experten vermuten, dass die Infizie-rungsrate auf mindestens 10 % gestiegen ist. In einer Studie soll diese Vermutung an 500 Tieren getestet werden.
Entwickeln Sie einen Test und berechnen Sie auf dem Signifikanzniveau von 1 % den Ablehnungsbereich.
Aus Kostengründen wird überlegt, die Stichprobe zu verkleinern. Stellen Sie dar, welche Auswirkungen dies haben könnte. |
Hi...
also Aufgabe a und b sind kein Problem und auch schon gelöst...Schwierigkeiten hab ich allerdings bei c und d.
einen konkreten Lösungsansatz hab ich auch nicht, nur eine Idee und diese werde ich jetzt hier formulieren...erst einmal für Aufgabe c):
Alternativtest:
H : p= 0,85
alpha: 0,2
das wars leider dann auch schon, ich finde auch keinen N-Wert.
Ich bin mir aber auch nicht sicher ob es überhaupt ein Alternativtest ist, vllt ist es auch ein Signifikantstest.
ich weiß es aber nicht...hmm
Aufgabe d)
n = 500
P ( x>= 0,1)
tja weiter bin ich auch hier nicht gekommen...
tut mir leid, ich weiß das man eigene Lösungsansätze haben soll, aber ich hab echt keinen Schimmer:(
ich erwarte auch hier keine kompletten Lösungen, mir wäre aber nen Ansatz lieb...also wenn mir jemand sagen könnte was ich genau machen muss, dann versuch ich das und sag euch bescheid was ich rausbekommen hab.
Bin leider keine leuchte in mathe :(
LG Franzi
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Hi, Francis,
> Bei einer Tierpopulation sind durchschnittlich 3 % der
> Tiere mit dem Erreger einer Krankheit K infiziert. Die
> Zufallsgröße, die die Anzahl der infizierten Tiere in einer
> Stichprobe angibt, wird als binomialverteilt angenommen.
>
> a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
> - in einer Herde von 50 Tieren mindestens vier Tiere;
> - in einem Bestand von 420 Tieren höchstens 10 Tiere
> infiziert sind.
>
> b) Berechnen Sie die Mindestgröße einer Herde, bei der mit
> mindestens 95 % Wahr-scheinlichkeit mindestens ein Tier
> infiziert ist.
>
> c) Bei einem Blutschnelltest werden 85 % der infizierten
> Tiere als solche erkannt. Irr-tümlich werden aber auch 20 %
> der nicht infizierten Tiere durch den Test als infiziert
> eingestuft.
> Nach dem Schnelltest wird ein Tier als nicht infiziert
> eingestuft.
> Weisen Sie nach, dass dann das Tier mit weniger als 1 %
> Wahrscheinlichkeit tat-sächlich infiziert ist.
> ...Schwierigkeiten hab ich allerdings bei c und d.
> einen konkreten Lösungsansatz hab ich auch nicht, nur eine
> Idee und diese werde ich jetzt hier formulieren...erst
> einmal für Aufgabe c):
>
> Alternativtest:
> H : p= 0,85
>
> alpha: 0,2
>
> das wars leider dann auch schon, ich finde auch keinen
> N-Wert.
> Ich bin mir aber auch nicht sicher ob es überhaupt ein
> Alternativtest ist, vllt ist es auch ein Signifikantstest.
> ich weiß es aber nicht...hmm
Bei Aufgabe c) handelt es sich überhaupt nicht um einen Test, sondern um eine Aufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit!
Die kannst Du z.B. mit Hilfe eines Baumdiagrammes lösen:
1. Verzweigung: Tier infiziert (Abk. z.B. J) mit einer Wahrsch. von 0,03;
Tier nicht infiziert [mm] (\overline{J}), [/mm] Wahrsch. 0,97.
2.Verzweigung: jeweils das Ergebnis des Schnelltests(Test positiv: T, Test negativ: [mm] \overline{T}.)
[/mm]
Zweigwahrscheinlichkeiten "von oben nach unten": 0,85; 0,15; 0,2; 0,8.
Gesucht ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein negativ getestetes Tier dennoch infiziert ist, nach der mir geläufigen Schreibweise also:
[mm] P_{\overline{T}}(J) [/mm] = [mm] \bruch{P(J\cap \overline{T})}{P( \overline{T})}
[/mm]
Das auszurechnen überlasse ich nun aber Dir!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Francis89 |
Also ich habe das dann mal versucht so zu rechnen...
bei mir kommt als Ergebnis dann 3 % raus...stimmt das?
habe folgendes gerechnet:
lt. der Formel die ich benutzen sollte:
( 0,15 * 0,03)/ 0,15 = 0,03 --> 3 %
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Do 19.03.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Hallo Francis,
zum Teil d) könnte man ein Signifikanztest aufstellen. Die erste Hypothese wäre dann, dass 3% der Tiere infiziert werden, die zweite Hypothese, dass 10 % der Tiere infiziert werden:
[mm] p_{H1}=0,03
[/mm]
[mm] p_{H2}=0,1
[/mm]
Über die Mittelwerte der beiden Hypothesen hat man ungefähr einen Wert, an dem man sich orientieren kann:
[mm] \mu_{H1}=n*p=500*0,03=15
[/mm]
[mm] \mu_{H2}=500*0,1=50
[/mm]
Etwas grob gesagt wird die Hypothese 1 dann abgeleht wenn über "etwa um 50" Tiere infiziert werden, die Hypothese 2 wird abgelehnt, wenn unter "etwa um 50" Tiere infiziert werden.
Ich vermute, dass man die Hypothese 2 auf den Ablehnbereich bei einem Signifikanzniveau von 1% prüfen soll.
Der Ablehnbereich [mm] \overline{A} [/mm] wäre dann zwischen {0;k}, der Annahmebereich A zwischen {k';500}.
Der Annahmebereich für p=3% ist gleichzeitig der Ablehnungsbereich von 10%:
[mm] \alpha=0,01=Binomialverteilung [/mm] von n=500 und p=3% (X [mm] \le [/mm] k)=0,99
Ziel ist es jetzt, k zu bestimmen, um die Grenze zu bekommen, zum Beispiel über eine Annäherung mit Hilfe der Normalverteilung.
Ich kann dir allerdings nicht versprechen, dass das so stimmt  .
Lg, Arnie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Francis89 |
so auch das habe ich dann so gerechnet wie vorgegeben...
allerdings finde ich in keiner tabelle den n-wert 500...
das muss man doch dann anders rechnen mit phi...
1/Sigma * phi [mm] ((k-\mu) [/mm] / Sigma) = 0,99
allerdings steht bei mir dann phi [mm] ((k-\mu) [/mm] / Sigma) = 3,776
dies geht aber nicht...kannst du mir sagen wo mein fehler liegt??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 So 22.03.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Für die Normalverteilung kenne ich die Formel angenähert nur ohne (1/sigma), das funktioniert dann auch in etwa :
[mm] \Phi\left( \bruch{k-\mu}{sigma} \right)=0,99
[/mm]
In den Tabellen steht bei der Standardnormalverteilung [mm] (\Phi) [/mm] für gerade 99% (das ist bei mir 0,9901) 2,33.
Also ersetzt du die 0,99 und das [mm] \Phi [/mm] mit dem Wert:
[mm] \bruch{k-\mu}{sigma}=2,33
[/mm]
für n=500 und p=3% ist [mm] \mu=15 [/mm] und sigma=3,814446
eingesetzt:
[mm] \bruch{k-15}{3,814446}=2,33 [/mm] |*3,814446
k-15=8,8877 |+15
k=23,887
aufgerundet:
k=24
Habt ihr die Aufgabe schon besprochen?
Lg,
Arnie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Do 19.03.2009 | | Autor: | karma |
Hallo Franzi!
Ich bin mir nicht sicher, wie die Nullhypothese zu wählen ist;
für die Nullhypothese p=3% habe ich folgendes Ergebnis:
ab 25 kranken Tieren in der Stichprobe lehne ich die Nullhypothese ab, daß 3% der Tiere krank sind, und akzeptiere die Alternative,
daß es mehr als 10% kranke Tiere in der Population gibt.
Die Rechnung folgt unten;
a b e r: stimmt meine Nullhypothese?
Schönen Gruß
Karsten
P.S.
Ich zitiere Dr. Gerrit Eichner aus seinem Skript zu 'Statistische Methoden/Biometrie WS 2006/2007':
"Fazit: Statistische Tests sind Instrumente zum Widerlegen von Nullhypothesen, nicht zu deren Bestätigung. Zu bestätigende Aussagen sind als Alternativen zu wählen."
In unserem Fall:
Wir b e z w e i f e l n,
daß (nur) 3% der Tiere befallen sind,
a l s o wählen wir 3% als Nullhypothese.
Voila.
Karsten
/* Signifikanztest, Fehler 2. Art bleibt unberücksichtigt!
Stichprobenumfang n=500, p=0.03, H0: p=0.03, H1: p>=0.1, k: Anzahl der Kranken Tiere in der Stichprobe,
großes k spricht für H1, kleineres k spricht für H0, Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) 1%=0.01,
gesucht: k so, daß die Summe der Wahrscheinlichkeiten für k+1, k+2,..., 500 kleiner als 1% wird!
( Der Ablehnungsbereich ist dann [k+1, 500] ) */
B (l) := sum(binomial(500, [mm] i)*0.03^i*(1-0.03)^{500-i}, [/mm] i, 0, l);
U (k) := sum(binomial(500, [mm] i)*0.03^i*(1-0.03)^{500-i}, [/mm] i, 1+k, 500);
L : [24];
apply(B, L);
apply(U, L);
apply(B, L)+apply(U, L);
L : [25];
apply(B, L);
apply(U, L);
apply(B, L)+apply(U, L);
(%o242) [mm] B(l):=sum(binomial(500,i)*0.03^i*(1-0.03)^{500-i},i,0,l)
[/mm]
(%o243) [mm] U(k):=sum(binomial(500,i)*0.03^i*(1-0.03)^{500-i},i,1+k,500)
[/mm]
(%o244) [24]
(%o245) 0.98993758092405
(%o246) 0.010062419075942
(%o247) 0.99999999999999
(%o248) [25]
(%o249) 0.99454300261385
(%o250) 0.0054569973861465
(%o251) 0.99999999999999
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 25.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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