Abituraufgabe 2015 < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Di 16.02.2016 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Für die Vermehrung von Pantoffeltierchen in einer Nährlösung wird die Gleichung verwendet
[mm]N(t)=500\cdot e^{0,6t}, t \in \mathbb{R}[/mm]
Dabei wird t als Maßzahl zur Einheit 1 Tag und N(t) als Anzahl der Pantoffeltierchen zum Zeitpunkt t aufgefasst. |
Hallo,
die Frage lautet:
Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl von Pantoffeltierchen in der Nährlösung während des ersten halben Tages der Beobachtung.
Ich habe die Lösung dieser Aufgabe und verstehe sie nicht.
Als Lösung wird angegeben
[mm]\frac{1}{0,5-0}\cdot \integral_0^{0,5}N(t)dt[/mm]
Ich verstehe nicht, warum ich das Integral noch mit [mm]\frac{1}{0,5-0}[/mm] multiplizieren muss.
Kann mir das bitte jemand erklären ?
Danke, Susanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Di 16.02.2016 | | Autor: | statler |
Guten Tag Susanne!
> Als Lösung wird angegeben
> [mm]\frac{1}{0,5-0}\cdot \integral_0^{0,5}N(t)dt[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, warum ich das Integral noch mit
> [mm]\frac{1}{0,5-0}[/mm] multiplizieren muss.
>
> Kann mir das bitte jemand erklären ?
Das Integral ohne den Faktor davor gibt dir die Gesamtfläche zwischen x-Achse und Kurve. Die Einheit wäre übrigens [Anzahl x Tag]. Du willst aber den Durchschnitt der y-Werte berechnen, also die Fläche in ein flächengleiches Rechteck verwandeln. Dazu mußt du durch die Länge der gegebenen Seite, also 0,5, teilen. Da die Einheit auf der x-Achse [Tag] ist, erhältst du auch wieder [Anzahl] als Einheit.
Ersatzargumentation: Schau in dein Tafelwerk, da steht es (hoffentlich) genau so als Formel.
Gruß aus HH
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 16.02.2016 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter, jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank für Deine Hilfe !
LG, Susanne
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Wenn du herausfinden willst, wie viele Leute duchschnittlich in einem Zug sitzen, gehst du zu unterschiedlichen Zeiten hin und zählst sie ab. Je öfte du aber hingehst, desto größer wird deine Summe, wobei sich der Durchschnitt qaber gar nicht groß ändern muss. Du musst also noch durch die Anzahl der Zählungen dividieren.
Bei dem Integral ist es ähnlich. Mit einem anderen Beispiel wird es deutlicher: Nehmen wir mal an, die Bakterien sterben innerhalb eines Tages gleichmäßig von 2400 auf 0 aus, jede Stunde 100 Stück. Dann haben zu Beginn der Zählung 2400 und nach einer Stunde 2300 gelebt, wegen der Linearität im Duchschnitt 2350. In der nächsten Stunde waren es durchschnittlich 2250, aber die darfst du jetzt nicht hinzuaddieren, sonst kämst du auf 4600. Die 4600 musst du nun durch 2 Stunden teilen, und so kommst du auf das richtige Ergebnis von 2300 im Durchschnitt in den ersten 2 Stunden (von 2400 auf 2200 gleichmäßig gibt 2300). Addierst du nun zu den 4600 die 2150 der 3. Stunde, so erhältst du 6750, musst nun aber durch 3 Stunden teilen, das gibt 2250 (Start mit 2400, nach 3 Stunden 2100, mittlerer Wert=2250). Genau wie hier musst du also beim Integral durch die betrachtete Zeit teilen, um den Durchschnitt zu erhalten.
[mm] \integral_{0}^{t}{/2400-100x) dx} [/mm] = [mm] 2400x-50x^2 |^{t}_{0}=2400t-50t^2
[/mm]
t=1: 2350
t=2: 4600
t=3: 6750
...
t=24: 28800, aber so viele Bakterien waren zu keiner Zeit vorhanden.
Dividiert man nun durch die bisherige Zeit, so erhält man als bis dahin sich ergebenden Durchschnittwerte 2400-50t:
t=1: 2350
t=2: 2300
t=3: 2250
...
t=24: 1200
Der Tipp von Statler ist nur teilweise sinnvoll: Schau nicht(!) in die Formelsammlung, um diese dann gedankenlos anzuwenden, sondern versuche, den Vorgang bzw. die Formel zu VERSTEHEN!
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