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Ableiten der Umkehrfunktion...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Mo 05.06.2006
Autor: Mattes_01

Aufgabe
f sei in  [mm] x_{0} [/mm] differentierbar
und  [mm] f^{-1} [/mm] sei stetig in  [mm] x_{0} [/mm]

Dann folgt daraus:  [mm] \bruch{d(f^{-1})}{df} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{f'(x_{o})} [/mm]

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich ahbe da mal eine Frage zu dieser Definition:

Und zwar habe ich mir mal als Beispiel die folgende Funktion genommen: f(x)= [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm]
Die Umkehrfunktion lautet:
[mm] f^{-1}= \bruch{1}{ \wurzel{x}} [/mm]

Wenn ich letzter ableite komme ich zu folgenden:

- [mm] \bruch{1}{2*x^{ \bruch{3}{2}}} [/mm]

Wenn ich jetzt per Def die Umkehrfuntion bilde, bze den Bruch umkehre komme ich nicht zu der Ableitung, die mir  [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] eigentlich liefern sollte.
Habe ich was falsch gemacht, oder habe cih die Def falsch abgeschrieben?!?

Achso wegen der stetigkeit:
Mir ist bewusst, dass die Funktionen beide nicht stetig sind, aber wenn ich nur den positiven Bereich betrachte, müsste das ja eigentl. gehen, oder liegt hier der Fehler?

Gruss Mattes

        
Bezug
Ableiten der Umkehrfunktion...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Mo 05.06.2006
Autor: baskolii

Dein Fehler liegt schon in der Aufgabenstellung!
Der Ableitung-der-Umkerfunktion-Satz sagt:
Für [mm] f:D\to\IR [/mm] (D Intervall in [mm] \IR) [/mm] mit f auf D stetig und streng monoton gilt:
Ist f in [mm] x_0\in{}D [/mm] differenzierbar und [mm] f'(x_0)\not={}0, [/mm] so ist [mm] f^{-1} [/mm] im Punkt
[mm] y_0=f(x_0) [/mm] differenzierbar und es gilt:
[mm] f^{-1}(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)} [/mm]

Siehst du den Unterschied? Jetzt kannst du dein Beispiel nachrechnen.

Bezug
                
Bezug
Ableiten der Umkehrfunktion...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mo 05.06.2006
Autor: Mattes_01

OK, also wenn ich jetzt hingehe und:
[mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] ableite kommt da ja: [mm] \bruch{-2}{x^{3}} [/mm] raus.

wenn ich dann  [mm] \bruch{1}{f'} [/mm] rechne kommt da raus:
[mm] f^{-1} [/mm] =  [mm] \wurzel[3]{ \bruch{x}{-2}} [/mm]

Das si aber irgendwie falsch oder nit?

Oder habe ich irgendwas falsch gemacht??

Danke und Gruss Mattes

Bezug
                        
Bezug
Ableiten der Umkehrfunktion...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Mo 05.06.2006
Autor: baskolii


> OK, also wenn ich jetzt hingehe und:
>   [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] ableite kommt da ja: [mm]\bruch{-2}{x^{3}}[/mm]
> raus.
>  
> wenn ich dann  [mm]\bruch{1}{f'}[/mm] rechne kommt da raus:
>  [mm]f^{-1}[/mm] =  [mm]\wurzel[3]{ \bruch{x}{-2}}[/mm]
>  
> Das si aber irgendwie falsch oder nit?
>  
> Oder habe ich irgendwas falsch gemacht??

Sorry, hab im Satz die Ableitung vergessen. Also
[mm] \frac{df^{-1}(y)}{dy}=\frac{1}{f'(x_0)} [/mm]
Damit klappt es dann.



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