Ableiten einer funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Do 21.06.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Zeige, dass eine quadratische Funktion f : [mm] R^n \to [/mm] R,
f(x) [mm] =\bruch{1}{2}\summe_{j,k=1}^{n}a_{jk}x_j x_k +\summe_{k=1}^{n} b_k x_k [/mm] + c
mit reellen Koeffizienten [mm] a_{jk} [/mm] = [mm] a_{kj} [/mm] , [mm] b_k [/mm] und c differenzierbar ist. Bestimme die partiellen Ableitungen
und die Ableitung f'(x) bei jeder Stelle x [mm] \in R^n. [/mm] |
Hallo,
Ich verstehe das Thema differenzierbarkeit immer noch nicht.
Ich kann die Ableitung nicht bestimmen, ich weiß nicht wie.
Gilt bei mehrdimensionalen ableitungen immer noch dass man summanden einzeln ableiten darf? - dann währe zumindest folgender Teil:
[mm] \summe_{k=1}^{n} b_k x_k [/mm] + c linear und damit diffbar, was die Ableitung ist, weiß ich dann aber immer noch nicht.
Kann mir jemand einmal erläutern, wie man so eine Funktion überhaupt ableitet?
MfG
CPH
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> Zeige, dass eine quadratische Funktion f : [mm]R^n \to[/mm] R,
> f(x) [mm]=\bruch{1}{2}\summe_{j,k=1}^{n}a_{jk}x_j x_k +\summe_{k=1}^{n} b_k x_k[/mm]
> + c
> mit reellen Koeffizienten [mm]a_{jk}[/mm] = [mm]a_{kj}[/mm] , [mm]b_k[/mm] und c
> differenzierbar ist. Bestimme die partiellen Ableitungen
> und die Ableitung f'(x) bei jeder Stelle x [mm]\in R^n.[/mm]
>
> Hallo,
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> Ich verstehe das Thema differenzierbarkeit immer noch
> nicht.
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> Ich kann die Ableitung nicht bestimmen, ich weiß nicht wie.
Die Ableitung an der Stelle [mm]x\in \IR^n[/mm] ist eine lineare Funktion [mm]\IR^n\rightarrow \IR[/mm], deren Abbildungsmatrix aus den Werten partiellen Ableitungen besteht. Sofern die partiellen Ableitungen alle existieren und stetig sind existiert (an dieser Stelle) auch die Ableitung von [mm]f[/mm].
Du leitest also den für [mm]f(x)[/mm] gegebenen Ausdruck partiell nach [mm]x_k[/mm] ab (für [mm]k=1,\ldots,n[/mm]), prüfst ob diese Ausdrücke stetige Abbildungen [mm]\IR^n\rightarrow \IR[/mm] sind und bildest mit ihnen die gewünschte Abbildungsmatrix für die Abbildung [mm]f'(x):\IR^n\rightarrow \IR[/mm] (Die Ableitung von [mm]f[/mm] selbst, manchmal mit [mm]f_\star[/mm] (manchmal aber auch einfach mit [mm]f'[/mm] bezeichnet) ist hingegen eine Abbildung [mm]f_\star:\IR^n\rightarrow(\IR^n\rightarrow \IR)[/mm]
> Gilt bei mehrdimensionalen ableitungen immer noch dass man
> summanden einzeln ableiten darf? - dann währe zumindest
> folgender Teil:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} b_k x_k[/mm] + c linear und damit diffbar, was
> die Ableitung ist, weiß ich dann aber immer noch nicht.
>
> Kann mir jemand einmal erläutern, wie man so eine Funktion
> überhaupt ableitet?
>
> MfG
>
> CPH
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