Ableiten eines Supremums < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Fr 04.11.2011 | | Autor: | flowwsen |
Hallo Allerseits,
ich würde gerne den folgenden Ausdruck differenzieren und/oder zeigen ob der Ausdruck überhaupt differenzierbar ist:
[mm]\frac{\delta}{\delta y} \sup_{w \in L_2} \int_0^\infty x(t)^T A(y) x(t)-w(t)^Tw(t)dt [/mm]
x und A(y) seien hinreichend gut.
Kann ich ableitung und supremum vertauschen? Wäre das möglich, wäre die Frage für mich eigentlich schon geklärt. Wäre schön, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte.
Vielen Dank im Voraus,
flowwsen
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo Allerseits,
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> ich würde gerne den folgenden Ausdruck differenzieren
> und/oder zeigen ob der Ausdruck überhaupt differenzierbar
> ist:
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> [mm]\frac{\delta}{\delta y} \sup_{w \in L_2} \int_0^\infty x(t)^T A(y) x(t)-w(t)^Tw(t)dt[/mm]
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> x und A(y) seien hinreichend gut.
> Kann ich ableitung und supremum vertauschen? Wäre das
> möglich, wäre die Frage für mich eigentlich schon
> geklärt. Wäre schön, wenn mir jemand einen Denkanstoß
> geben könnte.
>
> Vielen Dank im Voraus,
> flowwsen
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du kannst das Intergral ja in zwei Teile [mm] I_1(y)-I_2(w) [/mm] auseinanderziehen, der eine hängt nicht von w ab, der andere nicht von y.
Damit ist die Vertauschbarkeit unproblematisch:
[mm] \frac{\delta}{\delta y}\sup_w(I_1(y)-I_2(w)) [/mm] = [mm] \frac{\delta}{\delta y}(I_1(y)-\sup_wI_2(w)) [/mm] = [mm] \frac{\delta}{\delta y}(I_1(y))-0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Fr 04.11.2011 | | Autor: | flowwsen |
Vielen Dank für die sehr schnelle Antwort. Schöne einfache Lösung. ;)
Leider habe ich das Problem etwas zu start vereinfacht, da x ggf. auch von w abhängt. Man sollte also eher das folgende Integral betrachten:
[mm] \frac{\delta}{\delta y} \sup_{w \in L_2} \int_0^\infty x(t,w)^T A(y) x(t,w)dt [/mm]
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> Vielen Dank für die sehr schnelle Antwort. Schöne
> einfache Lösung. ;)
> Leider habe ich das Problem etwas zu start vereinfacht, da
> x ggf. auch von w abhängt. Man sollte also eher das
> folgende Integral betrachten:
> [mm]\frac{\delta}{\delta y} \sup_{w \in L_2} \int_0^\infty x(t,w)^T A(y) x(t,w)dt[/mm]
Dann wird es auf jeden Fall komplizierter, ähnlich wie bei der Vertauschbarkeit von Grenzwerten und Ableitung. In diesem Fall denke ich kann man ohne genauere Voraussetzungen keine Aussage machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 04.11.2011 | | Autor: | flowwsen |
Das habe ich bereits gedacht. Beim durchstöbern meine Analysis Bücher habe ich leider noch nicht das richtige Werkzeug gefunden. Könntest du mir einen Satz und oder ggf. eine Quelle nennen, die mir die benötigten Voraussetzungen liefert?
Vielleicht formuliere ich die Frage nochmal neu:
Unter welchen Voraussetzungen, bzw. mit Hilfe welchen Satzes ist das folgende Integral differenzierbar?
[mm] \frac{\delta}{\delta y} \sup_{w \in L_2} \int_0^\infty x(t,w)^T A(y) x(t,w)dt [/mm]
Wünschenswert wäre es für mich Ableitung und Supremum tauschen zu können.
Grüße flowwsen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Fr 04.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Das habe ich bereits gedacht. Beim durchstöbern meine
> Analysis Bücher habe ich leider noch nicht das richtige
> Werkzeug gefunden. Könntest du mir einen Satz und oder
> ggf. eine Quelle nennen, die mir die benötigten
> Voraussetzungen liefert?
> Vielleicht formuliere ich die Frage nochmal neu:
> Unter welchen Voraussetzungen, bzw. mit Hilfe welchen
> Satzes ist das folgende Integral differenzierbar?
> [mm]\frac{\delta}{\delta y} \sup_{w \in L_2} \int_0^\infty x(t,w)^T A(y) x(t,w)dt[/mm]
>
> Wünschenswert wäre es für mich Ableitung und Supremum
> tauschen zu können.
> Grüße flowwsen
Leider kenne ich mich mit den genauen technischen Voraussetzungen auch nicht so gut aus. Zu benutzen wären wohl Sätze über die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Ableitung (da ein Supremum ja immer als Grenzwert darstellbar ist).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Stichwort: Parameterintegrale.
FRED
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Ich meine, dass mir die Sätze über die Vertauschbarkeit von Integral und Ableitung bei Parameterintegralen nicht weiterhelfen. Vielleicht würde mich eine Antwort auf die abstraktere Frage, welche Voraussetzungen an $f:X [mm] \times \IR \longrightarrow \IR$, [/mm] X Hilbertraum, gestellt werden müssen, damit gilt
[mm] $\frac{\delta}{\delta y} \sup_{x \in X} [/mm] f(x,y) = [mm] \sup_{x \in X} \frac{\delta}{\delta y} [/mm] f(x,y)$.
vg flowwsen
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Die Antwort auf die vorherige Frage, wäre zwar sehr interessant, aber für meine Belange würde es ausreichen die folgende Fragen beantwortet zu haben:
Unter welchen Voraussetzungen an $ f:X [mm] \times \IR \longrightarrow \IR [/mm] $, X Hilbertraum, ist
$g(y) := [mm] \sup_{x \in X} [/mm] f(x,y)$
differenzierbar nach y. (Ich habe das gefühl, dass es es nicht ausreicht zu fordern, dass f in y differenzierbar ist.)
Wäre über jeden Hinweis und/oder Gegenbeispiele dankbar.
vg Florian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 08.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 09.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu donquijote:
es bleibt noch die Frage, ob Du Differentiation und Integration vertauschen darfst.
Mit "x und A(y) seien hinreichend gut" ist es nicht getan.
FRED
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