Ableiten von Binomen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 So 13.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Guten Abend.
Ich habe ein Problem mit dem Ableiten von Binomen bzw binomischen Formeln.
In meinem Mathebuch z.b. steht, dass die Ableitung von
[mm] (1-x)^2 [/mm] <-> 2*(1-x)*(-1)ist (was ich durch ausprobieren und rechnen auch verstanden habe.
Aber wie beläuft es sich wenn der Exponent größer als 2 wird? Also wenn hinter einer solchen Klammer, der Exponent größer als 2 ist?
Also wenn die Hochzahl bei der binomischen Formel ^3, ^4 und weiter bis ins Unendliche reicht? Gibt es da einen Trick bzw kann man da etwas vereinfach ohne das alles akribisch ausrechnen zu müssen? Weil bei ^7 wird das ja sehr schwer.
Gerne auch durch Beispiele. Aber meins ist nicht so gut, also bitte andere Binome, ohne ein Minus vor dem x etc..
Bin für baldige Hilfe seehr dankbar
Grüße Miri
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo MirjamKS,
> Guten Abend.
> Ich habe ein Problem mit dem Ableiten von Binomen bzw
> binomischen Formeln.
> In meinem Mathebuch z.b. steht, dass die Ableitung von
> [mm](1-x)^2[/mm] <-> 2*(1-x)*(-1)ist (was ich durch ausprobieren und
> rechnen auch verstanden habe.
Jo, das ist die Kettenregel!
> Aber wie beläuft es sich wenn der Exponent größer als 2
> wird? Also wenn hinter einer solchen Klammer, der Exponent
> größer als 2 ist?
> Also wenn die Hochzahl bei der binomischen Formel ^3, ^4
> und weiter bis ins Unendliche reicht? Gibt es da einen
> Trick bzw kann man da etwas vereinfach ohne das alles
> akribisch ausrechnen zu müssen? Weil bei ^7 wird das ja
> sehr schwer.
> Gerne auch durch Beispiele. Aber meins ist nicht so gut,
> also bitte andere Binome, ohne ein Minus vor dem x etc..
Allgemein ist für [mm]f(x)=(g(x))^n[/mm] nach Kettenregel die Ableitung [mm]f'(x)=\underbrace{n\cdot{}(g(x))^{n-1}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{g'(x)}_{\text{innere Abl.}}[/mm]
Es gilt ja für [mm]h(x)=x^n[/mm], dass [mm]h'(x)=n\cdot{}x^{n-1}[/mm] (Potenzregel)
Nehmen wir
1) [mm]f(x)=(x+3)^7[/mm]
Die Ableitung ist [mm]f'(x)=\underbrace{7\cdot{}(x+3)^{7-1}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot{}\underbrace{(x+3)'}_{\text{innere Abl.}}=7(x+3)^6\cdot{}1=7(x+3)^6[/mm]
2) [mm]f(x)=(x^2+3)^{13}[/mm]
Dann ist [mm]f'(x)=13(x^2+3)^{12}\cdot{}2x=26x(x^2+3)^{12}[/mm]
Kannst du nachvollziehen, warum? Ich habe extra keinen Kommentar drangeschrieben und alles in einem Schritt gemacht ...
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> Bin für baldige Hilfe seehr dankbar
> Grüße Miri
>
>
> Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 13.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Komisch, die Kettenregel haben wir eig noch nicht durchgenommen und der Lehrer hat mit uns auch keine Anwendungsaufgaben gemacht. Jetzt habe ich diese Aufgabe auf einer Seite, in der es eig nur um die Produktregel gehen soll gefunden.
Aber deine Anwendung anhand der Beispiele habe ich verstanden :)
Muss ich also ALLE Binomischen Formeln mit der Kettenregel ableiten? Auch wenn ich dabei bin die Produktregel anzuwenden?
Gruß Miri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Miri
> Komisch, die Kettenregel haben wir eig noch nicht
> durchgenommen und der Lehrer hat mit uns auch keine
> Anwendungsaufgaben gemacht. Jetzt habe ich diese Aufgabe
> auf einer Seite, in der es eig nur um die Produktregel
> gehen soll gefunden.
> Aber deine Anwendung anhand der Beispiele habe ich
> verstanden :)
> Muss ich also ALLE Binomischen Formeln mit der Kettenregel
> ableiten? Auch wenn ich dabei bin die Produktregel
> anzuwenden?
Ja, es sei denn du willst z.B [mm] (3-x)^{80} [/mm] ausmultipliziueren 
>
> Gruß Miri
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 13.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Nicht so gern :D
Aber kann denn der Lehrer in der Klausur fordern, dass ich einen Binom mit dem Exponenten/der Hochzahl ^3 oder größer ausmultipliziere? Muss man bei der Produktregel nicht erstmal alles ausmultiplizieren? Oder sollte das dann reichen?
Sorry das ich so nerve, aber ich muss immer 100 % sichergehen xD
Gruß Miri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Nicht so gern :D
> Aber kann denn der Lehrer in der Klausur fordern, dass ich
> einen Binom mit dem Exponenten/der Hochzahl ^3 oder
> größer ausmultipliziere?
Es macht jedenfalls keinen Sinn.
> Muss man bei der Produktregel
> nicht erstmal alles ausmultiplizieren? Oder sollte das dann
> reichen?
Nee:
[mm] f(x)=(3-x)^{80} [/mm] ergibt, rein nach Kettenregel:
[mm] f'(x)=80(3-x)^{79}\cdot(-1)=-80(3-x)^{79}
[/mm]
Anderes Beispiel:
[mm] f(x)=(x^{3}-1)^{7}
[/mm]
[mm] f'(x)=7(x^{3}-1)^{6}\cdot3x^{2}=21\cdot(x^{3}-1)^{6}\cdot x^{2}
[/mm]
Und das würde ich auf gar keinen Fall ausmultiplizieren.
Für die zweite Ableitung:
[mm] 21\cdot\underbrace{(x^{3}-1)^{6}}_{u}\cdot\underbrace{x^{2}}_{v}
[/mm]
[mm] f''(x)=\underbrace{21}_{konst. Fakt.}\cdot[\underbrace{6(x^{3}-1)^{5}\cdot3x^{2}}_{u'}\cdot\underbrace{x^{2}}_{v}+\underbrace{(x^{3}-1)^{6}}_{u}\cdot\underbrace{2x}_{v'}]
[/mm]
> Sorry das ich so nerve, aber ich muss immer 100 %
> sichergehen xD
Kein Ding.
>
> Gruß Miri
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 13.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Jetzt ist mir alles klar :D Viielen Dank :)
Nun, das mit dem konstanten Faktor verwirrt mich etwas. Wie kommt man den darauf?
Gruß Miri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 13.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Vielen Dank erstmal für die gute Seite :)
Also wird diese Konstante auch mit in die 2. Ableitung genommen?
Gruß Miri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank erstmal für die gute Seite :)
> Also wird diese Konstante auch mit in die 2. Ableitung
> genommen?
Bevor ich die nächste Ableitugn bilde, sollte man natürlich zusammenfassen.
Beispiele:
[mm] f(x)=3x^{2}
[/mm]
[mm] f'(x)=3\cdot2x=6x
[/mm]
f''(x)=6
[mm] h(x)=2(5-3x)^{4}
[/mm]
[mm] h'(x)=2\cdot4(5-2x)^{3}\cdot(-3)=-24(5-3x)^{3}
[/mm]
[mm] h''(x)=-24\cdot3(5-3x)^{2}\cdot(-3)=216(5-3x)^{2}
[/mm]
[mm] h^{(3)}(x)=216\cdot2(5-3x)\cdot(-3)=-3240(5-3x)=9720x-16200
[/mm]
[mm] h^{(4)}(x)=9720
[/mm]
>
> Gruß Miri
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 So 13.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Das klingt alles sehr logisch :) Viielen Dank :)))
Gruß Miri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 14.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Nun habe ich mir im Buch noch ein Beispiel angeguckt:
[mm] 4*(5-x^2)^3
[/mm]
Nun steht dadrunter, dass v= [mm] 5-x^2 [/mm] , v'0-2X
jedoch [mm] u=4x^3 [/mm] wäre und u'= 12x^^2, warum dass denn nun?
Muss das nicht nur 4 sein?
Gruß Miri
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Hallo Miri,
die Bäume da vor Dir sind ein Wald.
> Nun habe ich mir im Buch noch ein Beispiel angeguckt:
> [mm]4*(5-x^2)^3[/mm]
> Nun steht dadrunter, dass v= [mm]5-x^2[/mm] , v'0-2X
> jedoch [mm]u=4x^3[/mm] wäre und u'= 12x^^2, warum dass denn nun?
> Muss das nicht nur 4 sein?
Nein, die Ableitung von [mm] 4x^3 [/mm] ist doch 4mal die Ableitung von [mm] x^3 [/mm] und die ist nach der Potenzregel eben [mm] 3x^2. [/mm] Also [mm] u'=12x^2.
[/mm]
Einfacher ist das mit dem Verketten zu verstehen, wenn man nicht automatisch jede Funktionsvariable x nennt, sondern hier z.B.:
[mm] v=v(x)=5-x^2,\quad [/mm] v'(x)=-2x
[mm] u=u(v)=4v^3,\quad u'(v)=12v^2
[/mm]
Dann hat mans leichter, wenn man u(v(x)) ableiten will.
[mm] (u(v(x)))'=u'(v)*v'(x)=12v^2*(-2x) [/mm] mit [mm] v=v(x)=5-x^2 [/mm] also
[mm] (u(v(x)))'=12(5-x^2)*(-2x)=-24x(5-x^2)
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 14.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Ja aber wenn man nach der Produktregel u und v einteilt, muss doch bei der Funktion: [mm] 4*(5-x^2)^3
[/mm]
u= 4 sein und v= [mm] (5-x^2)^3
[/mm]
Durch die Kettenregel will man das aber vereinfachen und deswegen ist ja die [mm] v=5-x^2, [/mm] also die inntere Funktion. Nur wo kommt denn von dem [mm] u=4x^3 [/mm] das x her?
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Hallo, du möchtest also [mm] f(x)=4*(5-x^{2})^{3} [/mm] nach Produktregel ableiten
u=4
u'=0
[mm] v=(5-x^{2})^{3}
[/mm]
[mm] v'=3*(5-x^{2})^{2}*(-2x)=-6x*(5-x^{2})^{2}
[/mm]
für die Ableitung von v wird die Kettenregel gebraucht, der Faktor (-2x) entsteht durch die innere Ableitung, die Ableitung von [mm] 5-x^{2}
[/mm]
[mm] f'=u'*v+u*v'=0*(5-x^{2})^{3}+4*(-6x*(5-x^{2})^{2})
[/mm]
[mm] f'=0-24x*(5-x^{2})^{2}
[/mm]
[mm] f'=-24x*(5-x^{2})^{2}
[/mm]
du erkennst sicherlich, gehst du über die Produktregel, benötigst du auch die Kettenregel
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 14.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Alles klar, dieser Weg leuchtet mir auch ein, vielen Dank :)
Also kann man da 2 "Wege" gehen?
Einmal mit u=4 oder mit [mm] u=4x^3 [/mm] ?
Und das gilt für alle Funktionen solcher Art?
Gruß Miri
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Hallo, in deinem Beispiel kannst du Produkt- oder Kettenregel benutzen, bei der Kettenregel aber beachten, du setzt [mm] 5-x^{2}=v [/mm] benutze nicht erneut x, die innere Funktion, dann steht dort
[mm] f(x)=4*v^{3}
[/mm]
[mm] f'(x)=12*v^{2} [/mm] jetzt fehlt aber der Faktor v', die Ableitung von [mm] 5-x^{2}, [/mm] die Ableitung der inneren Funktion
[mm] f'(x)=12*v^{2}*(-2x)
[/mm]
jetzt für v wieder [mm] 5-x^{2} [/mm] einsetzen
[mm] f'(x)=12*(5-x^{2})^{2}*(-2x)=-24x*(5-x^{2})^{2}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 14.11.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Achsooo, jz versteh ich das :)
Vielen Dank :)
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