Ableiten von matrix-fkts < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Do 21.06.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Mit [mm] \IR^{n×n} [/mm] werde der Vektorraum aller reellen n × n-Matrizen bezeichnet. Zeige,
dass die dritte Potenz
[mm] p_3 [/mm] : [mm] \IR^{n×n} \to \IR^{n×n}, [/mm] A [mm] \mapsto A^3
[/mm]
eine überall differenzierbare Abbildung ist und berechne ihre Ableitung
p'_3 : [mm] \IR^{n×n} \to End(\IR^{n×n}). [/mm] |
Hallo,
Im 1-dim fall währe mir ach dass klar,
f(x) = [mm] x^3 [/mm] => f'(x) = [mm] 3x^2
[/mm]
Aber wie sieht das bei [mm] \IR^{n×n} [/mm] aus, was muss ich hier überhaupt machen?
Wie berechne ich sowas?
MfG
CPH
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> Mit [mm]\IR^{n×n}[/mm] werde der Vektorraum aller reellen n ×
> n-Matrizen bezeichnet. Zeige,
> dass die dritte Potenz
> [mm]p_3[/mm] : [mm]\IR^{n×n} \to \IR^{n×n},[/mm] A [mm]\mapsto A^3[/mm]
> eine überall
> differenzierbare Abbildung ist und berechne ihre Ableitung
> p'_3 : [mm]\IR^{n×n} \to End(\IR^{n×n}).[/mm]
> Hallo,
>
> Im 1-dim fall währe mir ach dass klar,
>
> f(x) = [mm]x^3[/mm] => f'(x) = [mm]3x^2[/mm]
>
> Aber wie sieht das bei [mm]\IR^{n×n}[/mm] aus, was muss ich hier
> überhaupt machen?
>
> Wie berechne ich sowas?
Du wirst in diesem Falle zeigen müssen, dass gilt:
[mm]\parallel (A^3-A_0^2) - p_3'(A_0)\big(A-A_0\big)\parallel = o(\parallel A-A_0\parallel)[/mm] für [mm]A\rightarrow A_0[/mm]
für eine geeignete lineare Funktion [mm]p_3'(A_0):\IR^{n\times n}\rightarrow \IR^{n\times n}[/mm]
In formaler Analogie zum 1-dim Fall könntest Du z.B. versuchen, für [mm]p_3'(A_0)[/mm] einfach [mm]p_3: A_0\mapsto 3A_0^2[/mm] einzusetzen.
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