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Ableiten von tan,sin,cos: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Fr 03.06.2005
Autor: mpode1979

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo
ich hab da mal ein Prolem mit dem Ableiten von Funtion:

[mm] \bruch{1}{3}tan{^3}x [/mm]

wie leite ich diese Funktion ab? Was muss ich benutzen Kettenregel oder Potenzregel oder beides

Bin schon ganz konfuss

Danke für eure Mühe

Michael

        
Bezug
Ableiten von tan,sin,cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Fr 03.06.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Das ist im Wesentlichen die Kettenregel, und innerhalb der Kettenregel wird die Potenzregel benötigt.

Lassen wir den Faktor [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] mal beiseite, der beim Ableiten nach der Faktorregel als konstanter Faktor eh vor die Ableitung wandert.

Dann hast du

$h(x) = [mm] \tan^3(x) [/mm] = g(f(x))$

mit

[mm] $g(x)=x^3$ [/mm]

und

[mm] $f(x)=\tan(x)$. [/mm]

Nach der Kettenregel gilt:

$h'(x) = g'(f(x)) [mm] \cdot [/mm] f'(x)$.

Weiterhin wissen wir (Potenzregel):

[mm] $g'(x)=3x^2$, [/mm]

also:

$g'(f(x)) = [mm] 3\tan^2(x)$. [/mm]

Ebenso bekannt ist:

$f'(x) = [mm] \frac{1}{\cos^2(x)}$. [/mm]

Wir haben also:

$h'(x) = 3 [mm] \tan^2(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}$. [/mm]

Die Ableitung von [mm] $\frac{1}{3}\tan^3(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}h(x)$ [/mm] ist also:

[mm] $\frac{\tan^2(x)}{\cos^2(x)}$. [/mm]

Viele Grüße
Stefan

Bezug
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