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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 13.11.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo!
Ich habe eine Frage bzgl. einer Ableitung.
Man solle die 2. Ableitung der Funktion f(x) bilden, wobei [mm] 2f(x)*ln|f(x)|\equivx [/mm] .
Nach welchen Muster muss ich nun genau vorgehen?
In der Aufgabenstellung liegt mir ja bereits praktisch die nach x aufgelöste Funktion vor. Kann ich diese (nun als Umkehrfunktion) einfach nach f(x) ableiten und dann per
[mm] {f'(x)=(1/(f^{-1}(f(x))))} [/mm] die erste Ableitung der Funktion f(x) erhalten?
[mm] {f^{-1}=2xln|x|}
[/mm]
[mm] {(f^{-1})'=2ln|x|+2}
[/mm]
[mm] {f'(x)=(1/(f^{-1}(f(x))))=(1/(2ln|x|))+(1/2)}
[/mm]
Und davon dann die zweite Ableitung bilden.
Laut Lösung müsste jedoch herauskommen:
[mm] {-(4f(1+ln|f|^{3}))^{-1}=-2f^{2}(x+2f)^{-3}}
[/mm]
Das mit den Umkehrfunktionen will mir einfach nicht einleuchten...
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß, Molch
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Hallo Molch,
> Hallo!
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> Ich habe eine Frage bzgl. einer Ableitung.
>
> Man solle die 2. Ableitung der Funktion f(x) bilden, wobei
> [mm]2f(x)*ln|f(x)|\equivx[/mm] .
>
> Nach welchen Muster muss ich nun genau vorgehen?
Betrachte die Identität:
[mm] x(y(x))\; = \;x [/mm]
Diese wird jetzt zweimal nach der Kettenregel abgeleitet:
[mm]
\begin{gathered}
x_y \;y_x \; = \;1 \hfill \\
x_{yy} \;\left( {y_x } \right)^2 \; + \;x_y \;y_{xx} \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hieraus kannst Du [mm]y_{x}[/mm] und [mm]y_{xx}[/mm] ermitteln:
[mm]\begin{gathered}
y_x \; = \;\frac{1}
{{x_y }} \hfill \\
y_{xx} \; = \; - \;\frac{{x_{yy} \;\left( {y_x } \right)^2 }}
{{x_y }}\; = \; - \;\frac{{x_{yy} }}
{{x_y^3 }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann bildest Du die Ableitungen nach y von der Funktion
[mm]x\left( y \right)\; = \;y\;\ln \;\left| y \right|[/mm]
Und diese setzt Du in obige Formel ein.
>
> In der Aufgabenstellung liegt mir ja bereits praktisch die
> nach x ufgelöste Funktion vor. Kann ich diese (nun als
> Umkehrfunktion) einfach nach f(x) ableiten und dann per
>
> [mm]{f'(x)=(1/(f^{-1}(f(x))))}[/mm] die erste Ableitung der Funktion
> f(x) erhalten?
>
> [mm]{f^{-1}=2xln|x|}[/mm]
> [mm]{(f^{-1})'=2ln|x|+2}[/mm]
> [mm]{f'(x)=(1/(f^{-1}(f(x))))=(1/(2ln|x|))+(1/2)}[/mm]
>
> Und davon dann die zweite Ableitung bilden.
>
> Laut Lösung müsste jedoch herauskommen:
>
> [mm]{-(4f(1+ln|f|^{3}))^{-1}=-2f^{2}(x+2f)^{-3}}[/mm]
Das sollte bestimmt so heißen:
[mm]
\frac{{ - 1}}
{{4\;f\;\left( {1\; + \;\ln \;\left| f \right|} \right)^3 }}\; = \;\frac{{ - \;2\;f^2 }}
{{\;\left( {2\;f\; + \;x} \right)^3 }}[/mm]
>
> Das mit den Umkehrfunktionen will mir einfach nicht
> einleuchten...
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Molch |
Vielen Dank!
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