Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR^2\mapsto\IR [/mm] sei definiert durch
[mm] $f(x,y):=\begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6}, & (x,y) \in \IR^2 \backslash \{ (0,0) \} \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass die zweite partielle Ableitung [mm] \frac{\delta^2 f}{\delta x^2}(0,0) [/mm] existieren |
Hoi.
Ich habe hier die Lösung, verstehe die aber nicht
[mm] $\frac{\delta^2 }{\delta x^2} [/mm] f(0,0) = [mm] \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\delta f}{\delta x}(x,0)-\frac{\delta f}{\delta x}(0,0)}{x-0} [/mm] $
$= [mm] \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \lim_{x' \to 0} \frac{f(x+x',0) - f(x,0)}{x'}$
[/mm]
$ = [mm] \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \lim_{x' \to 0} \frac{1}{x'}*0 [/mm] = 0$
Und wie kommt man jetzt auf [mm] \frac{1}{x}? [/mm] also [mm] \frac{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0) ist gleich Null. Das verschwindet. Ist klar. Aber wie kommt man auf 1/x? Oder ist das immer so? Ich verstehe auch nicht, wo dann das [mm] \frac{1}{x'} [/mm] herkommt. Ich habe versucht f auf normalen Wege zwei Mal nach x abzuleiten und dann 0,0 einzusetzen. Ohne Erfolg.
Bitte um Aufklärung.
Grüße von Wehm
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Hallo
Da der Term
[mm]f(x,y) := \frac{xy^3}{x^2+y^6}}[/mm]
in (0,0) nicht definiert ist, kannst du nicht "normal" ableiten und dann x=0 und y=0 einsetzen, sondern musst du auf die Definition der Ableitung (Differenzenquotient) zurückgreifen. Und zwar zweimal, da du ja die 2. Ableitung bilden sollst
Gruß Korbinian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 So 22.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wehm!
Wie unten schon angedeutet, wurde hier zweimal die Definition des Differenzenquotienten angewendet. Dabei wurde dann der Term [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] ausgeklammert.
Der Term $x'_$ ist meistens bekannter mit der Schreibweise $h_$ aus der Darstellung:
$f'(x) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
Für die 2. Ableitung [mm] $\frac{\partial^2 }{\partial x^2} [/mm] f(0,0)$ müssen wir also den Differenzenquotienten der ersten (partiellen) Ableitung [mm] $f_x$ [/mm] bilden:
[mm] $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) [/mm] \ := \ [mm] \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{x-0}\ [/mm] = \ [mm] \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{x}$
[/mm]
Und für [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(x,0)$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)$ [/mm] setzen wir nun ein:
[mm] $\blue{\bruch{\partial f}{\partial x}(x,0)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,0)-f(x,0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}}$
[/mm]
[mm] $\green{\bruch{\partial f}{\partial x}(0,0)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-0}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\bruch{h*0^3}{h^2+0^6}}{h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{h^2} [/mm] \ = \ [mm] \green{0}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] \ \ \ \ \ [mm] \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) [/mm] \ = \ [mm] \lim_{x \to 0} \frac{\blue{\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)}-\green{\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \lim_{x \to 0} \frac{\blue{\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}}-\green{0}}{x}$
[/mm]
$= \ [mm] \lim_{x \to 0} \frac{\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}}{x} [/mm] \ = \ [mm] \lim_{x \to 0}\bruch{1}{x}* \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h,0)-f(x,0)}{h}$
[/mm]
Im letzten Schritt wurde der Term [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] aus dem hinteren Grenzwert ausgeklammert, da dieser für die Grenzwertbetrachtung [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ keine Rolle spielt.
Nun noch für die Terme $f(x+h,0)_$ bzw. $f(x,0)_$ die entsprechende Funktionsvorschrift einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 So 22.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Danke euch beiden. Besonders Loddars Antwort hat das Rätsel gelüftet
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