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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Dnake |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=2-x/(x-1)^2 [/mm] |
Hallo,
ich bin ziemlich aus der Übung was solche Aufgaben angeht (vor langer Zeit konnte ich das mal...) und soll hier eine Kurvendiskussion machen, also erstmal die Ableitungen bilden:
als erste Ableitung habe ich: [mm] \bruch{((-x+1)^2)+2x-4+2x^2}{(x-1)^4}
[/mm]
Habe das mit der Quotierntenregel gemacht. Kann (oder muss) man da anders vorgehen?
Wenn ich so weitermache bekomme ich doch einen riesigen Exponenten im Nenner raus. Glaube nicht, dass das so dann richtig ist.
Danke schonmal!
Jan
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> [mm]f(x)=2-x/(x-1)^2[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin ziemlich aus der Übung was solche Aufgaben angeht
> (vor langer Zeit konnte ich das mal...) und soll hier eine
> Kurvendiskussion machen, also erstmal die Ableitungen
> bilden:
>
> als erste Ableitung habe ich:
> [mm]\bruch{((-x+1)^2)+2x-4+2x^2}{(x-1)^4}[/mm]
>
Dieses Ergebnis scheint nicht richtig zu sein. Wenn man Faktorzerlegt und dann kürzt, erhält man [mm] $\frac{3(x+1)}{(x-1)^3}$ [/mm] und dies ist um einen Faktor $3$ daneben: siehe unten.
> Habe das mit der Quotierntenregel gemacht.
Schon richtig (der Konstante Term $2$ fällt beim Ableiten ja einfach weg).
> Kann (oder muss)
> man da anders vorgehen?
Ich denke, Du hättest zumindest einen Faktor $(x-1)$ kürzen können: immer wenn der Nenner des abzuleitenden Quotienten eine Potenz ist, ist dies möglich:
[mm]\left(2-\frac{x}{(x-1)^2}\right)' = 0-\frac{1\cdot \red{(x-1)}^2-x\cdot 2\red{(x-1)}}{\red{(x-1)}^4}=-\frac{(x-1)-x\cdot 2}{(x-1)^3}=\frac{x+1}{(x-1)^3}[/mm]
> Wenn ich so weitermache bekomme ich doch einen riesigen
> Exponenten im Nenner raus. Glaube nicht, dass das so dann
> richtig ist.
Wie gesagt: Wenn der Nenner bereits eine Potenz ist, dann musst Du in der Ableitung unbedingt gegen das Quadrat dieses Nenners kürzen, bevor Du irgend etwas im Zähler auszumultiplizieren versuchst. Dass der Exponent im Nenner bei Anwendung der Quotientenregel immer weiter anwächst ist allerdings in der Tat unvermeidbar.
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