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| Aufgabe | Geg. [mm] f(x)=(x^2-2)e^-^x [/mm]
Geben Sie den max. Definitionsbereich, die Nullstellen, den Schnittpunkt mit der y Achse, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und deren Art und die Koordinaten der Wendepunkte an. |
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Hallo Zusammen!
Mit dieser Aufgabe habe ich so meine Problem, was wohl der e-Funktion geschuldet ist. Kann sich mal bitte jemand das erreichte anschauen und mir bei meinen Fragezeichen evtl. Lösungsansätze anbieten.
Als Definitionsbereich habe ich [mm] (x\in\IR).
[/mm]
[mm] N_1 (\wurzel{2};0) [/mm]
Die zweite müsste doch [mm] (-\wurzel{2};0) [/mm] sein, nur komm ich rechnerisch nicht darauf. Wie errechne ich das?
Schnittpunkt y-Achse (0;-2)
Nun zu meinen Hauptproblem. Die Ableitungen.
Meine Rechnung dazu: [mm] f(x)=(x^2-2)e^-^x [/mm]
f'=u*v = u'*v+u*v' für u'=2x und v'=e^-^x*(-1)
[mm] f'=2xe^-^x+(x^2-2)*e^-^x*(-1)
[/mm]
[mm] f'=4xe^-^x-x^2*e^-^x [/mm]
f'= [mm] e^-^x(4x-x^2)
[/mm]
Stimmt das bis dahin? Dann wäre doch f'=0 für 4 und -4, entweder hab ich mich dann verrechnet oder mein Funktionszeichenprogramm! Das zeigt mir für die Hoch-u. Tiefpunkte ganz andere Werte H (2,73;0,35) und T(-0,73;-3,04).
Danke schonmal. LG Markus
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> Geg. [mm]f(x)=(x^2-2)e^-^x[/mm]
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> Geben Sie den max. Definitionsbereich, die Nullstellen, den
> Schnittpunkt mit der y Achse, die Koordinaten der lokalen
> Extrempunkte und deren Art und die Koordinaten der
> Wendepunkte an.
> Hallo Zusammen!
Hey Markus!
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> Mit dieser Aufgabe habe ich so meine Problem, was wohl der
> e-Funktion geschuldet ist. Kann sich mal bitte jemand das
> erreichte anschauen und mir bei meinen Fragezeichen evtl.
> Lösungsansätze anbieten.
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> Als Definitionsbereich habe ich [mm](x\in\IR).[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]N_1 (\wurzel{2};0)[/mm]
> Die zweite müsste doch [mm](-\wurzel{2};0)[/mm] sein, nur komm ich
> rechnerisch nicht darauf. Wie errechne ich das?
Wie du richtig bemerkt hast, gibt es noch eine zweite Nullstelle bei [mm] (-\wurzel{2}/0). [/mm] Der rechnerische Weg:
f(x)=0
[mm] \gdw (x^2-2)e^{-x} [/mm] = 0
[mm] \gdw (x^2-2)= [/mm] 0 [mm] \vee e^{-x} [/mm] = 0
[mm] \gdw x^2= [/mm] 2 [mm] \vee [/mm] k.L.
Jetzt kommt der kritische Punkt, wenn du die Wurzel ziehst, bleibt |x|, also:
[mm] \gdw [/mm] |x| = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \gdw x=\wurzel{2} \vee x=-\wurzel{2}
[/mm]
> Schnittpunkt y-Achse (0;-2)
>
> Nun zu meinen Hauptproblem. Die Ableitungen.
> Meine Rechnung dazu: [mm]f(x)=(x^2-2)e^-^x[/mm]
>
> f'=u*v = u'*v+u*v' für u'=2x und v'=e^-^x*(-1)
>
> [mm]f'=2xe^-^x+(x^2-2)*e^-^x*(-1)[/mm]
bis hierhin ist es ok, dann stimmt deine Zusammenfassung nicht.
[mm] f'(x)=2xe^{-x}-(x^2-2)*e^{-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{-x}(2x-x^2+2)
[/mm]
> [mm]f'=4xe^-^x-x^2*e^-^x[/mm]
> f'= [mm]e^-^x(4x-x^2)[/mm]
>
Du kannst nicht 2 und 2x zusammenfassen.
> Stimmt das bis dahin? Dann wäre doch f'=0 für 4 und -4,
> entweder hab ich mich dann verrechnet oder mein
> Funktionszeichenprogramm! Das zeigt mir für die Hoch-u.
> Tiefpunkte ganz andere Werte H (2,73;0,35) und
> T(-0,73;-3,04).
>
> Danke schonmal. LG Markus
Bitte, Gruß Patrick
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| Aufgabe | Nun soll ich zeigen, (a) dass f(x) nicht symetrisch zur y-Achse ist.
(b) berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Graph f(x) die y-Achse schneidet. |
Vielen Dank Patrick, hab jetzt endlich die Lösungen die ich brauche.
Ich hoffe, das die zweite Ableitung auch passt: f'(x)= e^-^x [mm] (2x-x^2+2) [/mm]
(Ich weiß nicht, warum die Formatierung nicht funktioniert, soll e hoch minus x heißen)
f''(x)= u*v= u'*v+u*v' für u'= e^-x *(-1) und v'= (2-2x)
f''(x)= e^-^x *(-1) * [mm] (2x-x^2+2) [/mm] + e^-^x (2-2x)
f''(x)= - e^-^x [mm] (-2x+x^2+2) [/mm] + e^-^x (2-2x)
f''(x)= [mm] (-2x+x^2+2) [/mm] + (2-2x)
f''(x)= [mm] x^2-4x
[/mm]
[mm] x^2-4x=0 [/mm] für [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=4 [/mm] (x- Koordinaten derWendepunkte)
Nun zu (a): reicht es zu sagen f(-x) [mm] \ne [/mm] f(x) um zu beweisen, dass f(x) nicht symetrisch zur y-Achse ist?
Zu (b): Habe die Steigung im Schnittpunkt y-Achse (0;-1) berechnet. f'(0)= 3
Daraus die Tangentengleichung y=3x-1 (aus dem Punkt (0;-1)), Davon die Nullstelle [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] .
Damit hab ich dann zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (rechter Winkel bei (0;0) und kann über tan den Schnittwinkel berechnen.
tan [mm] \alpha= \bruch{a}{\left| b \right| } [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{3}}{\left| -1 \right| } [/mm] = 18,43°
Stimmt das alles?
Danke schonmal für Eure Mühe. LG Markus
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Hallo,
[mm] f'(x)=e^{-x}(-x^{2}+2x+2) [/mm] hast du korrekt
[mm] u=e^{-x}
[/mm]
[mm] u'=-e^{-x}
[/mm]
[mm] v=-x^{2}+2x+2
[/mm]
v'=-2x+2
[mm] f''(x)=e^{-x}*(-2x+2)-e^{-x}*(-x^{2}+2x+2)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}(-2x+2+x^{2}-2x-2)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-x}(x^{2}-4x) [/mm]
das solltest du noch einmal nachrechnen
[mm] x_W_1=0 [/mm] und [mm] x_W_2=4 [/mm] hast du korrekt
f'(0)=2
[mm] f'(0)=e^{-0}(-0^{2}+2*0+2)=1*2
[/mm]
berechne jetzt den letzten Teil neu
Steffi
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Immer wieder der Fehlerteufel. Danke Dir Steffi! Muss ich auch die zweite Ableitung nochmal rechnen? (Dein Satz steht direkt darunter)
Zu (b): Habe die Steigung im Schnittpunkt y-Achse (0;-1) berechnet. f'(0)= 2
Daraus die Tangentengleichung y=2x-1 (aus dem Punkt (0;-1)), Davon die Nullstelle [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] .
Damit hab ich dann zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (rechter Winkel bei (0;0) und kann über tan den Schnittwinkel berechnen.
tan [mm] \alpha= \bruch{a}{\left| b \right| } [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{\left| -1 \right| } [/mm] = 26,57°
Und (a): reicht es zu sagen f(-x) [mm] \ne [/mm] f(x) um zu beweisen, dass f(x) nicht symetrisch zur y-Achse ist?
Passt jetzt alles?
Danke schonmal. LG Markus
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Hallo Markus110,
> Immer wieder der Fehlerteufel. Danke Dir Steffi! Muss ich
> auch die zweite Ableitung nochmal rechnen? (Dein Satz steht
> direkt darunter)
>
> Zu (b): Habe die Steigung im Schnittpunkt y-Achse (0;-1)
> berechnet. f'(0)= 2
> Daraus die Tangentengleichung y=2x-1 (aus dem
> Punkt (0;-1)), Davon andie Nullstelle [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] .
Die Tangentengleichung lautet: [mm]y=2x-\red{2}[/mm]
>
> Damit hab ich dann zwei Seiten eines rechtwinkligen
> Dreiecks (rechter Winkel bei (0;0) und kann über tan den
> Schnittwinkel berechnen.
>
> tan [mm]\alpha= \bruch{a}{\left| b \right| }[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{\left| -1 \right| }[/mm] = 26,57°
Nach den Artikeln Steigung und Tangente gilt:
[mm]m=\tan\left(\alpha\right)=f'\left(0\right)=2[/mm]
>
> Und (a): reicht es zu sagen f(-x) [mm]\ne[/mm] f(x) um zu beweisen,
> dass f(x) nicht symetrisch zur y-Achse ist?
Da musst Du schon die Gleichungen aufstellen: [mm]f\left(-x)=f\left(x\right)[/mm]
Und diese muss ja für alle x gelten. Führe daher diese Gleichung zum Widerspruch, d.h. die Gleichung gilt nicht für alle x.
>
> Passt jetzt alles?
> Danke schonmal. LG Markus
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Markus110 |
Danke Mathepower!
Hab es selber gerade gemerkt, dass y=2x-2 ist. Gott sei Dank ist der Winkel (tan von1/2) trotzdem richtig. Die Gleichung werde ich auch aufstelle. Danke Dir. LG Markus
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Hi Mathepower!
Jetzt bin ich mir doch nicht mehr ganz sicher. Ist jetzt der Winkel richtig, den ich gerechnet habe (und auch der Weg) oder hätte das gereicht was Du vorgeschlagen hat [mm]m=\tan\left(\alpha\right)=f'\left(0\right)=2[/mm] ; also einfach den tan von 2?
Und mit dem Widerspruch tue ich mir auch schwer. Wie geht das den genau.
[mm]f\left(-x)=f\left(x\right)[/mm]
[mm] e^x \ne [/mm] e^-^x (dies gilt doch auch für alle x) ODER? Ich komm einfach nicht drauf wies anders geht.
Danke + LG Markus
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Hallo Markus110,
> Hi Mathepower!
>
> Jetzt bin ich mir doch nicht mehr ganz sicher. Ist jetzt
> der Winkel richtig, den ich gerechnet habe (und auch der
> Weg) oder hätte das gereicht was Du vorgeschlagen hat
> [mm]m=\tan\left(\alpha\right)=f'\left(0\right)=2[/mm] ; also einfach
> den tan von 2?
Ja, das ist so: [mm]\tan\left(\alpha\right)=2[/mm]
>
> Und mit dem Widerspruch tue ich mir auch schwer. Wie geht
> das den genau.
>
> [mm]f\left(-x)=f\left(x\right)[/mm]
[mm]f\left(-x\right)=\left(\left(-x\right)^{2}-2\right)*e^{-\left(-x\right)}=\left(x^{2}-2\right)*e^{x}[/mm]
[mm]f\left(x\right)=\left(\left(x\right)^{2}-2\right)*e^{-\left(x\right)}=\left(x^{2}-2\right)*e^{-x}[/mm]
Gegenüberstellung der beiden Gleichungen:
[mm]\left(x^{2}-2\right)*e^{x}=\left(x^{2}-2\right)*e^{-x}[/mm]
[mm]\gdw \left(x^{2}-2\right)*\left(e^{x}-e^{-x}\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow x^{2}-2=0 \vee e^{x}-e^{-x}=0[/mm]
Hier sieht man, dass diese Gleichung nur für bestimmte x erfüllt ist:
[mm]x^{2}-2=0 \Rightarrow x= \pm \wurzel{2}[/mm]
[mm] e^{x}-e^{-x}=0 \gdw e^{2x}-1=0 \Rightarrow x=0[/mm]
Somit gilt [mm]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/mm] nur für [mm]x \in \left\{0, +\wurzel{2}, -\wurzel{2} \right\}[/mm]. Damit ist [mm]f\left(x\right)[/mm] nicht symmetrisch zur y-Achse.
>
> [mm]e^x \ne[/mm] e^-^x (dies gilt doch auch für alle x) ODER? Ich
> komm einfach nicht drauf wies anders geht.
Das gilt nur für [mm]x=0[/mm]
>
> Danke + LG Markus
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Markus110 |
Danke Dir Mathepower nun ist mir ein ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") und ich merk schon, dass ich unbedingt Formelumstellen üben muss!
LG + schönen Abend, Markus
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