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| Aufgabe | Berechnen sie die Ableitung [mm] f'(x_0) [/mm] von f an der Stelle [mm] x_0
[/mm]
f(x)= arctan(sin²(x)) mit [mm] x_0= \pi [/mm] / 4 |
1. Frage
Laut Lösung kommt man von f(x)= arctan(sin²(x)) auf f'(x)= [mm] \bruch {2sin(x)cos(x)}{1+sin(x)^4(x)}
[/mm]
Ich sehe nicht, warum.
2. Frage
Anschließend wird f( [mm] \pi [/mm] / 4) berechnet, wobei im Zähler 1 + 4/16 steht. Auch hier wäre ich für Hilfe dankbar.
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Hallo xyfreeman,
> Berechnen sie die Ableitung [mm]f'(x_0)[/mm] von f an der Stelle
> [mm]x_0[/mm]
>
> f(x)= arctan(sin²(x)) mit [mm]x_0= \pi[/mm] / 4
> 1. Frage
>
> Laut Lösung kommt man von f(x)= arctan(sin²(x)) auf f'(x)=
> [mm]\bruch {2sin(x)cos(x)}{1+sin(x)^4(x)}[/mm]
>
> Ich sehe nicht, warum.
>
> 2. Frage
>
> Anschließend wird f(x0) berechnet, wobei im Zähler ??
eher im Nenner 
> 1 + 4/16 steht. Auch hier wäre ich für Hilfe dankbar.
Gegenfrage: Was hast du denn raus?
Zu (1)
Die Ableitung hier musst du mit der Kettenregel machen.
Die Ableitung von [mm] $g(x)=\arctan(x)$ [/mm] kennst du?
[mm] $g'(x)=[\arctan(x)]'=\frac{1}{1+x^2}$
[/mm]
Falls nicht, kannst du es mit der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion herleiten [mm] ($\arctan$ [/mm] ist ja die Umkehrfunktion vom [mm] $\tan$)
[/mm]
Dann brauchst du die Kettenregel:
[mm] $\left[u(v(x))\right]'=u'(v(x))\cdot{}u'(x)$
[/mm]
Hier ist [mm] $u(y):=\arctan(y)$ [/mm] und [mm] $v(x):=\sin^2(x)$
[/mm]
Ergibt also nach der Regel: [mm] $[\arctan(\sin^2(x))]'=\underbrace{\frac{1}{1+(\sin^2(x))^2}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{[\sin^2(x)]'}_{\text{innere Ableitung}}$ [/mm] ...
Für die innere Ableitung [mm] $[\sin^2(x)]'$ [/mm] musst du nochmal die Kettenregel verwenden
Zu (2):
Bedenke, dass [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
[/mm]
Außerdem ist [mm] $1+\frac{4}{16}=1+\frac{1}{4}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Das hat schon mal ein paar Fragezeichen aufgelöst, danke.
Aber warum...
1.
...ist die innere Ableitung (ich benutze die Produktregel)
cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x) = 2 sin(x)+cos(x) und nicht 2sin(x)+2cos(x) ?
2.
...ergibt dass Einsetzen von [mm] \pi [/mm] / 4 in [mm] sin^4(x) [/mm] = 4 / 16 ? Ich komme auf 2 / 16.
Wahrscheinlich komme ich irgendwo durcheinander.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Mi 20.08.2008 | | Autor: | xyfreeman |
Danke! Ich gehe für heute auch schlafen und sage lieber nicht wie ich auf 2/16 gekommen bin ;)
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Ich fürchte, eine Frage habe ich doch noch.
Warum setzt man cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x) auf z+z? Wäre 2(sin(x)+cos(x)) dann nicht sinnvoller?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Warum setzt man cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x) auf z+z? Wäre
Ist gleich, wie man es nennt. Fakt ist:
[mm] $\cos(x)*\sin(x)=\sin(x)*\cos(x)$
[/mm]
Wir haben einmal [mm] $\cos(x)*\sin(x)$ [/mm] und addieren das gleiche nochmal drauf, also haben wir's jetzt zweimal: [mm] $2*(\cos(x)*\sin(x))=2*\cos(x)*\sin(x)$
[/mm]
> 2(sin(x)+cos(x)) dann nicht sinnvoller?
Nein, weil es was völlig anderes ist.
[mm] $2(\sin(x)+\cos(x))=\sin(x)+\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)$
[/mm]
Du siehst den subtilen Unterschied zwischen "*" und "+"? =P
Schau's Dir morgen früh nochmal an, wenn Du ausgeschlafen bist, und ich garantier Dir, Du wirst Deinen Kopf gegen die nächste Wand hauen wollen. =)
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:51 Mi 20.08.2008 | | Autor: | xyfreeman |
Da kann ich wirklich nur noch mit dem Kopf schütteln, und dass bei gerade mal 2 Stunden echtem Schlaf. Danke...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
= 2 sin(x)+cos(x) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
