Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:
Ich muss die Ableitung von [mm] E(\lambda)= \bruch{a}{\lambda^{5}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)} [/mm] bilden und dann beweisen, dass sich [mm] E'(\lambda)=0 [/mm] mit der Abkürzung x:= [mm] \bruch{b}{T\lambda} [/mm] schreiben lässt als [mm] f(x):=xe^{x}-5(e^{x}-1)=0.
[/mm]
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Ich habe es mit der Quotientenregel versucht: [mm] (\bruch{f}{g})'(x)= \bruch{f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)}{g²(x)}
[/mm]
Dann hätte ich vorweg erstmal ne Frage: Behandele ich das a so wie eine Konstante und leite es dann ab als a'= a... oder a'=1?
[mm] E'(\lambda)= \bruch{a*(\lambda^{5}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)) - a* (5\lambda^{4}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)*1*e^{\bruch{b}{T\lambda}}}{(\lambda^{5}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1))²}
[/mm]
Ich glaube das ist nicht richtig, aber ich weiss auch net, wo mein Fehler liegt...
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> [mm]E(\lambda) \ = \ \bruch{a}{\lambda^{5}*\left(e^{\bruch{b}{T*\lambda}}-1\right)} \ = \ a*\lambda^{-5}*\left(e^{\bruch{b}{T*\lambda}}-1\right)^{-1}[/mm]
Produktregel besagt: (f*g)'(x)= f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
Ist dann f(x)= [mm] a*\lambda^{-5} [/mm] und [mm] g(x)=\left(e^{\bruch{b}{T*\lambda}}-1\right)^{-1}?
[/mm]
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Ja.
Nur dass Du es mit [mm] f(\lambda) [/mm] und [mm] g(\lambda) [/mm] zu tun hast!
Übrigens gehört doch wohl zur Aufgabe, dass Du das a so bestimmen sollst, dass Du die geforderte Schreibweise anwenden kannst, oder?
lg,
reverend
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Nein, über das a wird nix gesagt. Die Lösung der Aufgabe besagt:
Man rechnet aus: [mm] E'(\lambda) [/mm] = $ [mm] \bruch{a}{\lambda^{6}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)²} [/mm] $ [mm] [\bruch{b}{T\lambda}e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}} [/mm] - [mm] 5(e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}}-1)]
[/mm]
Dann wird das x eingesetzt und man hat das Ergebnis. Aber wie man auf den Ausdruck in der eckigen Klammer kommt ist mir ein Rätsel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Fr 19.12.2008 | | Autor: | reverend |
Entweder [mm] \bruch{a}{\lambda^6} [/mm] bleibt als Faktor stehen oder kann als =1 vorausgesetzt werden, näher kommst Du nicht an Dein vorgegebenes Ergebnis. Aber jetzt erstmal zur Ableitung, an anderer Stelle im Diskussionsstrang.
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Ist [mm] E'(\lambda)= [/mm] 0 + [mm] a*\lambda^{-5}*(-1)*(e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}}-1)^{-2}*(e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}})'
[/mm]
wobei [mm] (e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}})' [/mm] = [mm] e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}}*(\bruch{b}{T\lambda})' [/mm] = [mm] e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}} [/mm] * [mm] \bruch{-b*T}{(T\lambda)²}
[/mm]
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Wo kommt denn die 0 am Anfang jetzt her?
Loddars Vorlage war doch: [mm] E(\lambda)=(a\lambda^{-5})*(e^\bruch{b}{T\lambda}-1)^{-1}
[/mm]
Du hattest richtig identifiziert: [mm] f(\red{\lambda})= a*\lambda^{-5} [/mm] und [mm] g(\red{\lambda})=\left(e^{\bruch{b}{T*\lambda}}-1\right)^{-1}
[/mm]
(mit meiner angemerkten Änderung von x zu [mm] \lambda)
[/mm]
Also:
[mm] E'(\lambda)=\underbrace{a*(-5)*\lambda^{-6}}_{=f'(\lambda)}*\underbrace{\left(e^{\bruch{b}{T*\lambda}}-1\right)^{-1}}_{=g(\lambda)}+\underbrace{a*\lambda^{-5}}_{=f(\lambda)}*\underbrace{\overbrace{(-1)*\left(e^{\bruch{b}{T*\lambda}}-1\right)^{-2}}^{aeussere Ableitung}*\overbrace{e^{\bruch{b}{T*\lambda}}}^{innere Abl. Klammer}*\overbrace{(-1)\bruch{b}{T*\lambda^2}}^{inn.Abl.Exp.}}_{=g'(\lambda)}
[/mm]
Jetzt noch umformen... 
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> Jetzt noch umformen...
Dann erhalte ich:
[mm] \bruch{-5a}{\lambda^{6}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)} [/mm] + [mm] \bruch{-a}{\lambda^{5}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)²}* e^{\bruch{b}{T\lambda}}* [/mm] (- [mm] \bruch{b}{T\lambda²})
[/mm]
Wie muss ich nun weiter umformen, damit ich auf $ [mm] \bruch{a}{\lambda^{6}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)²} [/mm] $ komme :o?
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Gute Frage. Ich sag doch, es geht nicht...
Trotzdem mal weiter:
... [mm] =\bruch{-5a(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)}{\lambda^6(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{a*(\bruch{b}{T\lambda})*e^{\bruch{b}{T\lambda}}}{\lambda^{6}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)^2}= [/mm]
gemeinsame Faktoren rausziehen; dabei vertausche ich die Reihenfolge der Summanden
[mm] =\bruch{a}{\lambda^6(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)^2}*\left(\left(\bruch{b}{T\lambda}\right)*e^{\bruch{b}{T\lambda}}-5*(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)\right)
[/mm]
ersetzen wir mal das gegebene [mm] x:=\bruch{b}{T\lambda} [/mm] ...
[mm] =\bruch{a}{\lambda^6(e^x-1)^2}*\left(\left x*e^{x}-5*(e^x-1)\right)
Das bekommst Du ohne weitere Vorgaben, Rahmen- oder Randbedingung oder anderweitige Informationen nicht auf die vorgegebene Zielform.
lg,
reverend
[/mm]
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Hmmmm, ich schreibe nochmal den genauen Wortlaut der Aufgabe hin, vielleicht habe ich ja was wichtiges übersehen, was relevant ist:
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Nach PLANCK wird die Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers (z.B. eines Sterns) der Temperatur T in Abhängigkeit von der Wellenlänge [mm] \lambda [/mm] gegeben durch
$ [mm] E(\lambda)= \bruch{a}{\lambda^{5}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)} [/mm] $ (PLANKSCHE Strahlungskurve).
Dabei ist a=hc², b=hc/k mit c= Lichtgeschwindigkeit, h= Wirkungsquantum und k= Boltzmann-Konstante. In dieser Aufgabe soll untersucht werden, bei welcher Wellenlänge [mm] \lambda_{max} [/mm] die Strahlungsintensität [mm] E(\lambda) [/mm] maximal ist.
a) Rechnen Sie nach, dass sich die (für ein Maximum notwendige) Bedingung [mm] E'(\lambda)=0 [/mm] mit der Abkürzung [mm] x:=\bruch{b}{T\lambda} [/mm] schreiben lässt als [mm] f(x):=xe^{x}-5(e^{x}-1)=0.
[/mm]
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Angegebene Lösung:
Man rechnet aus: $ [mm] E'(\lambda) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{a}{\lambda^{6}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)²} [/mm] $ $ [mm] [\bruch{b}{T\lambda}e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}} [/mm] $ - $ [mm] 5(e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}}-1)] [/mm] $
Mit der Abkürzung [mm] x=\bruch{b}{T\lambda} [/mm] wird also [mm] E'(\lambda)=0 [/mm] <=> [mm] f(x):=xe^{x}-5(e^{x}-1)=0.
[/mm]
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Oder kommt man dann auf die Lösung, wenn man [mm] \lambda=0 [/mm] setzt und dann der linke Teil wegfällt?
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Hallo,
mal kurz zusammengefaßt, was ich diesem Thread entnommen habe:
Du hast eine Funktion [mm] E(\lambda), [/mm] deren Maximum zu bestimmen ist.
Die 1.Ableitung wurde von Euch inzwischen ermittelt als
[mm] E'(\lambda)=\bruch{a}{\lambda^6(e^x-1)^2}*(x*e^{x}-5*(e^x-1)) [/mm] , wobei [mm] x:=\bruch{b}{T\lambda} [/mm] $
Die Dir vorliegende Lösung teilt mit:
> [mm]E'(\lambda)[/mm] = [mm]\bruch{a}{\lambda^{6}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)²}[/mm] [mm][\bruch{b}{T\lambda}e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}}[/mm] - [mm]5(e^{\bruch{b}{T\cdot{}\lambda}}-1)][/mm]
=[mm]\bruch{a}{\lambda^{6}(e^{x}-1)²}[/mm] [mm][xe^x[/mm] - [mm]5(e^{x}-1)][/mm]
Das ist doch gleich! Wo ist denn das Problem?
> Mit der Abkürzung [mm]x=\bruch{b}{T\lambda}[/mm] wird also
> [mm]E'(\lambda)=0[/mm] <=> [mm]f(x):=xe^{x}-5(e^{x}-1)=0.[/mm]
>
> --------------------------------------------------------------------------------------------
>
>
> Oder kommt man dann auf die Lösung, wenn man [mm]\lambda=0[/mm]
> setzt und dann der linke Teil wegfällt?
??? --- Ogottogott!!! Mach sowas nicht! Der fällt dann nicht weg, sondern er explodiert und fliegt Dir um die Ohren. 1:0 ist nämlich nicht definiert...
Eine notwendige Bedingung für ein Maximum ist
[mm] E'(\lambda)=0
[/mm]
<==> [mm]\bruch{a}{\lambda^{6}(e^{x}-1)²}[/mm] [mm][xe^x[/mm] - [mm]5(e^{x}-1)][/mm]=0
Da der Faktor [mm]\bruch{a}{\lambda^{6}(e^{x}-1)²}[/mm] niemals =0 wird, ist dies gleichbedeutend mit
[mm][xe^x[/mm] - [mm]5(e^{x}-1)][/mm]=0.
Da hast Du's doch. No Problem. Great.
Gruß v. Angela
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Ehmmm, könntest du mir vielleicht noch erklären, warum $ [mm] \bruch{a}{\lambda^{6}(e^{x}-1)²} [/mm] $ niemals Null werden kann, und warum ist es dann gleichbedeutend mit $ [mm] [xe^x [/mm] $ - $ [mm] 5(e^{x}-1)] [/mm] $=0. ?
Wenn er 1 werden kann dann wäre es ja logisch, aber bei allem anderen als 1 kann man den Faktor doch net einfach weglassen.... oder?
Danke schonmal für alle Antworten!
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> Ehmmm, könntest du mir vielleicht noch erklären, warum
> [mm]\bruch{a}{\lambda^{6}(e^{x}-1)²}[/mm] niemals Null werden kann,
Hallo,
Du möchtest jetzt also die Funktion [mm] g(\lambda)=\bruch{a}{\lambda^{6}(e^{x}-1)²} [/mm] betrachten.
EDIT:
Es kann doch generell r:s nur Null sein, wenn r=0 ist, sonst nicht.
> und warum ist es dann gleichbedeutend mit [mm][xe^x[/mm] - [mm]5(e^{x}-1)] [/mm]=0. ?
Erklärung A:
Da der Faktor [mm] \not=0, [/mm] kann ich dadurch dividieren, und es bleibt [mm][xe^x[/mm] - [mm]5(e^{x}-1)] [/mm]=0.
Erklärung B:
Ein Produkt ist =0, wenn einer der Faktoren=0 ist. Da der erste Faktor nie 0 wird, muß der zweite Faktor =0 sein. Also folgt aus [mm] E'(\lambda)=0, [/mm] daß [mm][xe^x[/mm] - [mm]5(e^{x}-1)] [/mm]=0 gilt.
>
> Wenn er 1 werden kann dann wäre es ja logisch, aber bei
> allem anderen als 1 kann man den Faktor doch net einfach
> weglassen.... oder?
Beachte: es geht um eine Folgerung aus E'=0.
Es ist [mm][xe^x[/mm] - [mm]5(e^{x}-1)] [/mm] nicht dasselbe wie E'.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Sa 20.12.2008 | | Autor: | weduwe |
meiner meinung nach ist die angegebene lösung falsch
(tippfehlerteufel?)
mit [mm]x=\frac{b}{\lambda \cdot T}[/mm]
hat man das extremum der funktion
[mm] g(x)=\frac{x^5}{e^x-1} [/mm] zu suchen, das ergibt
[mm] g^\prime(x)=\frac{(5x^4-x^5)(e^x-1)}{(e^x-1)^2}
[/mm]
und wegen [mm] x\neq [/mm] 0 [mm] \to f(x):=(5-x)(e^x-1)=0
[/mm]
was ich auch erhalte, wenn ich "umständlich" zuerst nach [mm] \lambda [/mm] differenziere und erst dann substituiere 
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> meiner meinung nach ist die angegebene lösung falsch
> (tippfehlerteufel?)
>
> mit [mm]x=\frac{b}{\lambda \cdot T}[/mm]
>
> hat man das extremum der funktion
> [mm]g(x)=\frac{x^5}{e^x-1}[/mm] zu suchen, das ergibt
>
> [mm]g^\prime(x)=\frac{(5x^4-x^5)(e^x-1)}{(e^x-1)^2}[/mm]
Hallo,
das ist falsch.
Du hast [mm] e^x-1 [/mm] verkehrt abgeleitet.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:02 Sa 20.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> > meiner meinung nach ist die angegebene lösung falsch
> > (tippfehlerteufel?)
> >
> > mit [mm]x=\frac{b}{\lambda \cdot T}[/mm]
> >
> > hat man das extremum der funktion
> > [mm]g(x)=\frac{x^5}{e^x-1}[/mm] zu suchen, das ergibt
> >
> > [mm]g^\prime(x)=\frac{(5x^4-x^5)(e^x-1)}{(e^x-1)^2}[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> das ist falsch.
>
> Du hast [mm]e^x-1[/mm] verkehrt abgeleitet.
>
> Gruß v. Angela
ja das stimmt
richtig ist
[mm] g^\prime(x)=\frac{5x^4(e^x-1)-x^5\cdot e^x}{(e^x-1)^2}\to f(x):=x\cdot e^x-5(e^x-1)=0
[/mm]
also große entschuldigung
[mm] x\neq [/mm] 0 gilt wegen [mm] \lambda\neq\infty
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Fr 19.12.2008 | | Autor: | crashby |
> Hallo,
> ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:
>
> Ich muss die Ableitung von [mm]E(\lambda)= \bruch{a}{\lambda^{5}(e^{\bruch{b}{T\lambda}}-1)}[/mm]
> bilden und dann beweisen, dass sich [mm]E'(\lambda)=0[/mm] mit der
> Abkürzung x:= [mm]\bruch{b}{T\lambda}[/mm] schreiben lässt als
> [mm]f(x):=xe^{x}-5(e^{x}-1)=0.[/mm]
>
> Ich habe es mit der Quotientenregel versucht:
> [mm](\bruch{f}{g})'(x)= \bruch{f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)}{g²(x)}[/mm]
>
> Dann hätte ich vorweg erstmal ne Frage: Behandele ich das a
> so wie eine Konstante und leite es dann ab als a'= a...
> oder a'=1?
Hey die Ableitung einer Konstanten ist 0 da du nach lambda ableiten sollst, sind die anderen Konstanten.
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Quotientenregel
