Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Sa 27.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{cos(e^x + x^3)}{\wurzel{1 + x^2}}
[/mm]
Bestimmen Sie die erste Ableitung. |
Mein Weg:
z(x) := [mm] cos(e^x [/mm] + [mm] x^3)
[/mm]
z'(x) = [mm] -sin(e^x [/mm] + [mm] x^3)(e^x [/mm] + [mm] 3x^2)
[/mm]
n(x) := (1 + [mm] x^2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
n'(x) = x(1 + [mm] x^2)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{z'n - zn'}{n²}(x)
[/mm]
= [mm] \bruch{-(e^x + 3x^2)sin(e^x + x^3)\wurzel{1+x^2} - x*cos(e^x + x^3)*\wurzel{1+x^2}}{\wurzel{1+x^2}*\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)((e^x + 3x^2)sin(e^x + x^3) + x*cos(e^x + x^3))}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
Offensichtlich ist f(x) auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert und differenzierbar, da der Term unter der Wurzel immer positiv ist und auch ansonsten keine Definitionslücken in Funktion oder Ableitung existieren.
Sollte eigentlich so korrekt sein, oder?
Danke im Voraus und Grüße,
Tobias
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 27.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo schachuzipus,
danke für die Korrektur. Ein ärgerlicher Fehler.
Ich habe deinen Tipp mal beherzigt und den ersten Term erweitert, allerdings ist folgender Weg etwas kürzer und einfacher (und führt bei mir zum gleichen Ergebnis):
= [mm] \bruch{(-1)[(e^x + 3x^2)sin(e^x+x^3) + cos(e^x + x^3)(\bruch{x}{1+x^2})]}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
Sprich beide Summanden mit [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] "gekürzt"/vereinfacht.
Eine weitere Möglichkeit zum Vereinfachen sehe ich da jetzt nicht (außer eventuell, den Sinus auf den Cosinus (oder umgekehrt) zurückzuführen. Aber ich schätze mal, dass das dadurch eher komplizierter werden würde.  ).
Soweit korrekt?
lg Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> danke für die Korrektur. Ein ärgerlicher Fehler.
Ja, kann passieren, da machste nix ,-)
>
> Ich habe deinen Tipp mal beherzigt und den ersten Term
> erweitert, allerdings ist folgender Weg etwas kürzer und
> einfacher (und führt bei mir zum gleichen Ergebnis):
>
> = [mm]\bruch{(-1)[(e^x + 3x^2)sin(e^x+x^3) + cos(e^x + x^3)(\bruch{x}{1+x^2})]}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
>
> Sprich beide Summanden mit [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm]
> "gekürzt"/vereinfacht.
Ja, das stimmt soweit natürlich auch, die "Vereinfachung", auf die ich hinaus wollte, killt den ollen Doppelbruch, aber du kannst es natürlich auch so stehenlassen ...
>
> Eine weitere Möglichkeit zum Vereinfachen sehe ich da jetzt
> nicht (außer eventuell, den Sinus auf den Cosinus (oder
> umgekehrt) zurückzuführen. Aber ich schätze mal, dass das
> dadurch eher komplizierter werden würde. ).
Höchstens mit der von mir oben erwähnten Umformung doppelbruchfrei schreiben ..
>
> Soweit korrekt?
Jau
>
> lg Tobias
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Sa 27.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Danke soweit, Schachuzipus.
Dann habe ich bei deinem Ansatz wohl den falschen Weg gewählt.
[mm] \bruch{\bruch{-(e^x+3x^2)sin(e^x+x^3)(1+x^2)}{\wurzel{1+x^2}} - \bruch{x*cos(e^x+x^3)}{\wurzel{1+x^2}}}{(\wurzel{1+x^2})^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{(-1)[(e^x + 3x^2)sin(e^x + x^3)(1+x^2) + xcos(e^x+x^3)]}{\wurzel{1+x^2}}}{(\wurzel{1+x^2})^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)[(e^x + 3x^2)sin(e^x + x^3)(1+x^2) + xcos(e^x+x^3)]}{(1+x^2)\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
jetzt noch [mm] (1+x^2) [/mm] rausziehen und da steht wieder meine obige Lösung.
Wie müsste man denn vorgehen, um den Doppelbruch loszuwerden?
Das sehe ich leider nicht. :-(
Gruß, Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke soweit, Schachuzipus.
>
> Dann habe ich bei deinem Ansatz wohl den falschen Weg
> gewählt.
>
> [mm]\bruch{\bruch{-(e^x+3x^2)sin(e^x+x^3)(1+x^2)}{\wurzel{1+x^2}} - \bruch{x*cos(e^x+x^3)}{\wurzel{1+x^2}}}{(\wurzel{1+x^2})^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\bruch{(-1)[(e^x + 3x^2)sin(e^x + x^3)(1+x^2) + xcos(e^x+x^3)]}{\wurzel{1+x^2}}}{(\wurzel{1+x^2})^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(-1)[(e^x + 3x^2)sin(e^x + x^3)(1+x^2) + xcos(e^x+x^3)]}{(1+x^2)\wurzel{1+x^2}}[/mm]
soweit ich das überblicke, ist das richtig!
>
> jetzt noch [mm](1+x^2)[/mm] rausziehen und da steht wieder meine
> obige Lösung.
Hier nun nicht "rausziehen", sondern den Nenner so lassen oder schreiben als [mm] $(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$, [/mm] aber in deiner letzten Zeile ist es ja schon doppelbruchfrei ...
>
> Wie müsste man denn vorgehen, um den Doppelbruch
> loszuwerden?
Ist es das nicht schon?
> Das sehe ich leider nicht. :-(
>
> Gruß, Tobias
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Sa 27.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Ah okay, danke. So meintest du das.
Ich war wohl etwas zu fixiert darauf, in der Ableitung den Nenner aus der Funktion zu erhalten.
Einen schönen Abend wünsche ich noch.
Tobias
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
