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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 So 18.01.2009
Autor: Englein89

Hallo,

ich habe eine kurze Frage zur Ableitung von ln(xy), wenn ich nach x ableite.

Ist das dann 1/xy?

        
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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 So 18.01.2009
Autor: Steffi21

Hallo, es handelt sich dabei um die partielle Ableitung, leiten wir nach x ab, so ist y eine Konstante, leiten wir nach y ab, so ist x eine Konstante, mache mal als Beispiel die Ableitung von ln(4x), benutze dabei die Kettenregel, dann kannst du zu ln(xy) gehen, die Ableitung nach x und die Ableitung nach y, Steffi

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 So 18.01.2009
Autor: Englein89

Darauf bin ich auch gekommen, aber mir fehlt die Vorstellung, wie ln(4x) aussieht. Ich würde vermuten 1/(4x) *4, kann ich umformen zu 1/x (kürzen?) demnach also auch 1/y wenn ich nach x ableite.

Aber das scheint so falsch :(

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 So 18.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Englein,

> Darauf bin ich auch gekommen, aber mir fehlt die
> Vorstellung, wie ln(4x) aussieht. Ich würde vermuten 1/(4x)
> *4, kann ich umformen zu 1/x (kürzen?) demnach also auch
> 1/y wenn ich nach x ableite.

[daumenhoch]

>  
> Aber das scheint so falsch :(

Dann hat es falsch geschienen ;-)

Es ist nämlich genau richtig!

LG

schachuzipus


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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 So 18.01.2009
Autor: Englein89

Dann habe ich aber ein Problem

Ich soll nach x ableiten:

[mm] x^2+y^2-2ln(xy) [/mm]

Ich hätte dann die Ableitung nach x: 2x-2/y und für y: 2y-2/x

Ich soll die Punkte herausfinden, in der der Gradient der Nullvektor ist, also muss ich die beiden Funktionen gleich 0 setzen, aber da ich dann jeweils 2 ungleiche Variablen habe, kriege ich keine Lösung, oder?

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 So 18.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Englein89,

> Dann habe ich aber ein Problem
>  
> Ich soll nach x ableiten:
>  
> [mm]x^2+y^2-2ln(xy)[/mm]
>  
> Ich hätte dann die Ableitung nach x: 2x-2/y und für y:
> 2y-2/x




Das stimmt nicht ganz.


Ableitung nach x: [mm]2x-\bruch{2}{x}[/mm]

Ableitung nach y: [mm]2y-\bruch{2}{y}[/mm]


>  
> Ich soll die Punkte herausfinden, in der der Gradient der
> Nullvektor ist, also muss ich die beiden Funktionen gleich
> 0 setzen, aber da ich dann jeweils 2 ungleiche Variablen
> habe, kriege ich keine Lösung, oder?


Mit den richtigen Ableitungen bekommst Du schon Lösungen.


Gruß
MathePower

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 So 18.01.2009
Autor: Englein89

Dann ist also jede Ableitung von ln(irgendwas * x)=1/x?

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 So 18.01.2009
Autor: Steffi21

Hallo, ja, so ist es, Steffi

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 So 18.01.2009
Autor: Englein89

Dann möchte ich doch gleich mal die Lösungen zu 2 anderen Aufgaben hier posten um euch um Korrektur zu bitten, weil ich nicht weiterkomme.

[mm] g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2 [/mm]

Nach x abgeleitet: [mm] 2x-4x(x^2+y^2) [/mm]

nach y abgeleitet: [mm] -2y-4y(x^2+y^2) [/mm]

Aber wie finde ich nun die Punkte, wo dieser Gradient den Nullvektor bildet? Also wie finde ich ein Ergebnis dafür, wenn ich die Funktionen jeweils =0 setze? Vielleicht.. Matrix auflösen?

Und [mm] h(x,y)=(x^2+y)^2+4xy-x [/mm]

Nach x abgeleitet: [mm] 2(x^2+y)*2x+4y-1 [/mm]
nach x abgeleitet: [mm] 2(x^2+y)+4x [/mm]

Was sagt ihr dazu`?

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 So 18.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Englein89,

> Dann möchte ich doch gleich mal die Lösungen zu 2 anderen
> Aufgaben hier posten um euch um Korrektur zu bitten, weil
> ich nicht weiterkomme.
>  
> [mm]g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2[/mm]
>  
> Nach x abgeleitet: [mm]2x-4x(x^2+y^2)[/mm]
>  
> nach y abgeleitet: [mm]-2y-4y(x^2+y^2)[/mm]
>  
> Aber wie finde ich nun die Punkte, wo dieser Gradient den
> Nullvektor bildet? Also wie finde ich ein Ergebnis dafür,
> wenn ich die Funktionen jeweils =0 setze? Vielleicht..
> Matrix auflösen?


Hier kannst Du x bzw. y ausklammern.
Und den Ausdruck in der verbleibenden Klammer,
kannst Du auch nach einer Variablen auflösen.

  

> Und [mm]h(x,y)=(x^2+y)^2+4xy-x[/mm]
>  
> Nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)*2x+4y-1[/mm]
>  nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)+4x[/mm]


Hier bekommst Du aus der zweiten Gleichung eine Funkion [mm]y=y\left(x\right)[/mm].

Diese setzt Du dann in die erste Gleichung ein um die x-Werte zu finden.


>  
> Was sagt ihr dazu'?


Gruß
MathePower

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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 So 18.01.2009
Autor: Englein89


>  >  
> > [mm]g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2[/mm]
>  >  
> > Nach x abgeleitet: [mm]2x-4x(x^2+y^2)[/mm]
>  >  
> > nach y abgeleitet: [mm]-2y-4y(x^2+y^2)[/mm]
>  >  
> > Aber wie finde ich nun die Punkte, wo dieser Gradient den
> > Nullvektor bildet? Also wie finde ich ein Ergebnis dafür,
> > wenn ich die Funktionen jeweils =0 setze? Vielleicht..
> > Matrix auflösen?
>  
>
> Hier kannst Du x bzw. y ausklammern.
>  Und den Ausdruck in der verbleibenden Klammer,
> kannst Du auch nach einer Variablen auflösen.
>  

Also [mm] x(2-4x^2-4y^2)? [/mm] Und dann? Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.

>
> > Und [mm]h(x,y)=(x^2+y)^2+4xy-x[/mm]
>  >  
> > Nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)*2x+4y-1[/mm]
>  >  nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)+4x[/mm]
>  
>
> Hier bekommst Du aus der zweiten Gleichung eine Funkion
> [mm]y=y\left(x\right)[/mm].
>  
> Diese setzt Du dann in die erste Gleichung ein um die
> x-Werte zu finden.
>  

Meinst du ich ersetze das x aus Gleichung 1 durch [mm] 2(x^2+y)+4x? [/mm]

>
> >  

> > Was sagt ihr dazu'?
>
>
> Gruß
>  MathePower


Bezug
                                                                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 So 18.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Englein89,

>
> >  >  

> > > [mm]g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2[/mm]
>  >  >  
> > > Nach x abgeleitet: [mm]2x-4x(x^2+y^2)[/mm]
>  >  >  
> > > nach y abgeleitet: [mm]-2y-4y(x^2+y^2)[/mm]
>  >  >  
> > > Aber wie finde ich nun die Punkte, wo dieser Gradient den
> > > Nullvektor bildet? Also wie finde ich ein Ergebnis dafür,
> > > wenn ich die Funktionen jeweils =0 setze? Vielleicht..
> > > Matrix auflösen?
>  >  
> >
> > Hier kannst Du x bzw. y ausklammern.
>  >  Und den Ausdruck in der verbleibenden Klammer,
> > kannst Du auch nach einer Variablen auflösen.
>  >  
> Also [mm]x(2-4x^2-4y^2)?[/mm] Und dann? Ich verstehe nicht ganz, was
> du meinst.


Hieraus folgern wir dann:

[mm]x=0 \vee 2-4x^{2}-4y^{2}=0[/mm]

Dann gibt es 2 Fälle:

i) x=0
ii) [mm]4x^{2}+4y^{2}=2[/mm]

Und jetzt untersuchst für beide Fälle, was sich aus der Gleichung

[mm]-2y-4y(x^2+y^2)=0[/mm]

ergibt.


>  >

> > > Und [mm]h(x,y)=(x^2+y)^2+4xy-x[/mm]
>  >  >  
> > > Nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)*2x+4y-1[/mm]
>  >  >  nach x abgeleitet: [mm]2(x^2+y)+4x[/mm]
>  >  
> >
> > Hier bekommst Du aus der zweiten Gleichung eine Funkion
> > [mm]y=y\left(x\right)[/mm].
>  >  
> > Diese setzt Du dann in die erste Gleichung ein um die
> > x-Werte zu finden.
>  >  
> Meinst du ich ersetze das x aus Gleichung 1 durch
> [mm]2(x^2+y)+4x?[/mm]


Nun, aus

[mm]2(x^2+y)+4x=0 \Rightarrow y=-2x-x^{2}[/mm]

Dies setzt Du jetzt in die Gleihung

[mm]2(x^2+y)*2x+4y-1=0[/mm]

ein.


>  >

> > >  

> > > Was sagt ihr dazu'?
> >
> >
> > Gruß
>  >  MathePower
>  


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 So 18.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Englein,

alternativ, falls du die Kettenregel nicht magst, helfen bei Logarithmen fast immer Umformungen weiter.

So auch hier

[mm] $\ln(x\cdot{}y)=\ln(x)+\ln(y)$ [/mm]

Und da kannst du die partiellen Ableitungen ja "ablesen" ;-)

LG

schachuzipus

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