Ableitung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo.
Rechne gerade eine etwas kompliziertere Aufgabe, und habe gerade die ! Ableitung berechnet.
Und wollte sie einmal überprüfen lassen.
Aufgabe:
f(x)= [mm] x+1+e^{1-x}
[/mm]
Meine Ableitung:
f' (x)= [mm] 1+e^{-x}
[/mm]
Habe ich richtig abgleitet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
Nein, das stimmt nicht. Bei der Ableitung einer e-Funktion bleibt der Exponent immer gleich (wird also nicht um 1 verringert).
Zudem hast Du die innere Ableitung der e-Funktion vergessen (siehe  Kettenregel). Du musst noch mit der Ableitung von $(1-x)_$ multiplizieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Na aber es heist doch (äußere Abl. mal inner Abl.) oder?
Mich irretiert an der gegebenen Gleichung nämlich dieses "1-x"
Aber das mit der e-Funktion stimmt natürlich, da war mein Fehler, habe das übersehen.
Aber die Ableitung bis zu dem [mm] "+e^{1-x}" [/mm] hat ja gestimmt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
Nein, die Ableitung zu [mm] $e^{1-x}$ [/mm] lautet: [mm] $e^{1-x}*(-1) [/mm] \ = \ [mm] -e^{1-x}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Und das gilt für jede e-Funktion? Egal was als Exponent steht?
Also, wenn ich das jetzt dann hoffentlich richtig verstanden habe, dann ist
f' (x)= [mm] 1-e^{1-x}
[/mm]
Oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Nein, meine damit, das bei der Ableitung von einer e-Fkt. ich mit mal (-1) rechnen muss?
Denn sonst, habe ich immer so gerechnet (keine e-Fkt.) äußere Abl. mal innere Abl.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
> Nein, meine damit, das bei der Ableitung von einer e-Fkt.
> ich mit mal (-1) rechnen muss?
Natürlich nicht! Wie ist denn die Ableitung von [mm] $e^{2x}$ [/mm] ? Da multiplizierst Du doch auch nicht mit mit $-1_$ sondern ...?
> Denn sonst, habe ich immer so gerechnet (keine e-Fkt.)
> äußere Abl. mal innere Abl.
Nichts anderes habe ich hier auch gemacht. Wie lautet denn die Ableitung von $1-x_$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, jetzt weis ich was du meinst.
Habe das vorhin nicht "gesehen", doch jetzt schon.
Dein Bsp.
Antwort:
f= [mm] (e)^{2*x}
[/mm]
f'= 1*e
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
Nein, das stimmt nicht! Die Ableitung der e-Funktion ist immer gleich der e-Funktion (unverändert).
Zudem multipliziert man mit der Ableitung des Exponenten.
In unserem Beispiel also:
[mm] $$\left( \ e^{2x} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}*(2x)' [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}*2 [/mm] \ = \ [mm] 2*e^{2x}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok,
aber so ganz verstehe ich das leider nicht.
Aber, ja, Abl. einer e-Fkt. ist unverändert.
Also steht dann da, (dein Bsp.)
[mm] (e^{2x})^{1} [/mm] oder bin ich da jetzt völlig falsch?
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> Ok,
> aber so ganz verstehe ich das leider nicht.
> Aber, ja, Abl. einer e-Fkt. ist unverändert.
>
> Also steht dann da, (dein Bsp.)
>
> [mm](e^{2x})^{1}[/mm] oder bin ich da jetzt völlig falsch?
>
Hallo,
die Ableitung von [mm] f(x)=e^{2x} [/mm] geht mit der Kettenregel.
Die äußere Funktion ist die e-Funktion, sie unverändert, aber in die e-Funktion ist 2x eingesetzt, die ableitung hiervon ist 2.
So erhältst Du, wie Dir bereits vorgerechnet wurde, f'(x)= [mm] 2*e^{2x}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Und das genau verstehe ich nicht.
Ich verstehe nicht wie die e-Fkt. die "äußere Fkt." sein kann.
Ich stelle mir vor, das das "e" halt in Klammern steht, und den Exponenten "2x" hat.
[mm] e^{2x}
[/mm]
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> Und das genau verstehe ich nicht.
> Ich verstehe nicht wie die e-Fkt. die "äußere Fkt." sein
> kann.
> Ich stelle mir vor, das das "e" halt in Klammern steht,
> und den Exponenten "2x" hat.
> [mm]e^{2x}[/mm]
Hallo,
die "normale" e-Funktion ist doch [mm] g(x)=e^x.
[/mm]
Und für (in) dieses x setzt Du nun was anderes (nämlich 2x) ein.
Insofern ist die Schreibweise von zuvor, exp(x) statt [mm] e^x [/mm] vielleicht deutlicher, denn bei exp(2x) statt [mm] e^{2x} [/mm] sieht man deutlich, daß 2x in die e-Funktion eingesetzt ist.
[mm] \*\*\*
[/mm]
So, nun verwirre ich mal ein bißchen, man könnte [mm] h(x)=e^{2x} [/mm] nämlich tatsächlich noch anders auffassen:
so: [mm] h_1(x)= (e^x)^2 [/mm]
oder so: [mm] h_2=(e^2)^x. (h_2 [/mm] ist ungemütlich, das besprechen wir erstmal nicht weiter.)
Aber [mm] h_1 [/mm] kannst Du mit der Kettenregel ableiten.
Wenn ich es so schreibe wie oben, ist [mm] x^2 [/mm] meine äußere Funktion, in welche die innere Funktion [mm] e^x [/mm] eingesetzt wird,
so daß sich als Ableitung ergibt
[mm] h_1'(x)=\underbrace{2(e^x)^{2-1}}_{aeussere}*\underbrace{e^x}_{innere}=2e^x*e^x=2e^{2x}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Also erst einmal vielen dank für deine Hilfe.
Ich weis ja was du meinst, bzw. was du damit sagen willst.
Aber ich verstehe das einfach nicht (bei dem Bsp. mit der e-Fkt.)
Ich würd mir das immer nur so vorstellen (Bsp. mit 2x)
[mm] (e^{x})^{2x}
[/mm]
Ich weis das das falsch ist, aber es leuchtet mir halt nicht ein.
Sorry.
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> Also erst einmal vielen dank für deine Hilfe.
> Ich weis ja was du meinst, bzw. was du damit sagen
> willst.
> Aber ich verstehe das einfach nicht (bei dem Bsp. mit der
> e-Fkt.)
>
> Ich würd mir das immer nur so vorstellen (Bsp. mit 2x)
> [mm](e^{x})^{2x}[/mm]
Daß das Unfug ist, siehst Du doch bei Anwendung der Potenzgesetzte: [mm] (e^{x})^{2x}=e^{x*2x}=e^{(2x^2)}, [/mm] und das ist nun wirklich was völlig anderes als [mm] e^{2x}.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Ich weis das das falsch ist, aber es leuchtet mir halt
> nicht ein.
> Sorry.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Bzw. wenn wir von '"unserem Bsp. 2x ausgehen"
würde ich halt fälschlicher Weise so ableiten.
[mm] e^{2x}
[/mm]
Ableitung:
Ich würde dann so denken.
[mm] e^{2x} [/mm] = [mm] (e^{x})^{2x}
[/mm]
f'= [mm] 2(e^{x})^{2x-1} [/mm] * [mm] e^{x}
[/mm]
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> Bzw. wenn wir von '"unserem Bsp. 2x ausgehen"
> würde ich halt fälschlicher Weise so ableiten.
> [mm]e^{2x}[/mm]
>
> Ableitung:
> Ich würde dann so denken.
> [mm]e^{2x}[/mm] = [mm](e^{x})^{2x}[/mm]
Hallo,
s. meine andere Antwort.
Du kannst ja nicht die Funktion völlig verändern, bloß weil's Dir besser gefällt.
Die Ableitung von [mm] f(x)=(e^{x})^{2x}=e^{2x^2} [/mm] wäre übrigens [mm] f'(x)=4x*e^{2x^2}, [/mm] was wenig Ähnlichkeit mit Deinem Ergebnis hat.
> f'= [mm]2(e^{x})^{2x-1}[/mm] * [mm]e^{x}[/mm]
Mal ein Hinweis darauf, wo Dein Fehler beim Ableiten liegt:
Bist Du Dir darüber im Klaren, daß zwischen den Funktionen [mm] g(x)=x^5 [/mm] und [mm] h(x)=5^x [/mm] ein himmelweiter Unterschied liegt, auch ihre Ableitungen betreffend?
Es ist [mm] g'(x)=5x^4,
[/mm]
[mm] h'(x)=(ln(5))*5^x.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Habe ja jetzt die 1.Abl. gebildet.
Habe f' jetzt "0" gesetzt und möchte nun "x" berechnen.
Nur ich weis jetzt leider nicht, wie ich das "x" aus der Potenz von "e" berechnen soll.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
$$1 - [mm] e^{1-x} [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$e^{1-x} [/mm] \ = \ 1$$
Nun auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Wenn ich da jetzt den Logarithmus anwenden soll, dann würde ich das folgender Maßen machen.
Doch das ist bestimmt nicht korrekt.
[mm] 1-e^{1-x}=0
[/mm]
[mm] e^{1-x}=1
[/mm]
[mm] log_{e}1-x=1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Sa 06.06.2009 | | Autor: | cluedo |
hi,
du musst den [mm] $\ln$ [/mm] auf beiden Seiten anwenden:
[mm] \begin{displaymath}
\exp(1-x) = 1 \\
\Leftrightarrow\ln(\exp(1-x)) = \ln(1) \\
\Leftrightarrow1-x = \ln(1) \\
\Leftrightarrow1-x = 0 \\
\Leftrightarrow x =1
\end{displaymath}
[/mm]
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Das verstehe ich leider nicht so wirklich.
Was bedeutet denn immer [mm] "\gdw" [/mm] bzw das exp (meinst du damit exponent, oder exponentialfunktion)?
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Hallo,
> Was bedeutet denn immer [mm]"\gdw"[/mm]
das steht für "genau dann, wenn" bzw. "ist äquivalent zu" bzw. "hat dieselben Lösungen wie".
> bzw das exp (meinst du
> damit exponent, oder exponentialfunktion)?
Ja. exp(x) ist eine Schreibweise für [mm] e^x.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Meine 2.Ableitung wäre jetzt.
f''= [mm] 1-x(-e)^{1-x-1} [/mm] * (-e)
ist das korrekt?
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Hallo Ice-Man,
> Meine 2.Ableitung wäre jetzt.
>
> f''= [mm]1-x(-e)^{1-x-1}[/mm] * (-e)
>
> ist das korrekt?
Leider nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das musst Du nochmal nachrechen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Aber ich leite das doch auch nach der Kettenregel ab, oder?
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Hallo Ice-Man,
> Aber ich leite das doch auch nach der Kettenregel ab, oder?
Ja, klar.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Na wenn ich dann das "1-x" ableite, dann bleibt ja "1" übrig.
und wenn ich "-e" ableite, dann bleibt doch die e-Fkt. auch unverändert.
Oder liege ich da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Sa 06.06.2009 | | Autor: | clwoe |
Hi,
> Na wenn ich dann das "1-x" ableite, dann bleibt ja "1"
> übrig.
falsch!
(1-x)'=-1
> und wenn ich "-e" ableite, dann bleibt doch die e-Fkt. auch
Wenn du [mm] -e^{x} [/mm] ableitest hast du [mm] -e^{x}.
[/mm]
Wenn du [mm] -e^{-x} [/mm] ableitest hast du [mm] e^{-x}.
[/mm]
Du musst den abgeleiteten Exponent wieder mit deiner Funktion multiplizieren.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, das stimmt, ich habe das nur in dem Bsp. hier ein wenig schlecht formuliert.
Nur es ist doch so.
f'= [mm] 1-e^{1-e}
[/mm]
wenn ich da jetzt f'' bilden will, "fällt ja die 1 weg", und ich muss dann noch [mm] -e^{1-e} [/mm] ableiten, über die Kettenregel.
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Hallo Iceman,
> Ja, das stimmt, ich habe das nur in dem Bsp. hier ein wenig
> schlecht formuliert.
>
> Nur es ist doch so.
> [mm] $f'\red{(x)}= 1-e^{1-\red{x}}$
[/mm]
> wenn ich da jetzt f'' bilden will, "fällt ja die 1 weg",
> und ich muss dann noch [mm] $-e^{1-\red{x}}$ [/mm] ableiten, über die
> Kettenregel.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Aber nicht vertippen! [mm] $-e^{1-e}$ [/mm] wäre ja (bzgl. x) konstant und würde beim Anleiten auch zu 0 
LG
schachuzipus
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> Na wenn ich dann das "1-x" ableite, dann bleibt ja "1"
> übrig.
> und wenn ich "-e" ableite, dann bleibt doch die e-Fkt. auch
> unverändert.
> Oder liege ich da falsch?
Hallo,
in solch einer langen Diskussion wäre es ein Entgegenkommen den geneigten Helfern gegenüber, wenn diese nochmal lesen könnten, worum es überhaupt geht.
Du scheinst die 2.Ableitung von f(x)= $ [mm] x+1+e^{1-x} [/mm] $ zu suchen, richtig?
Dazu braucht man ja erstmal die richtige 1. Ableitung. Die Ableitung der e-Funktion geht auch hier mit der Kettenregel, so daß man erhält:
f'(x)=1+ [mm] (-1)*e^{1-x}=1-e^{1-x}.
[/mm]
Nun kannst Du Dich an der 2. Ableitung versuchen.
Gruß v. Angela
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
