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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Di 03.05.2005 | | Autor: | Jana86 |
Hallo!Ich habe mich schon stundenlang an folgender Ableitung versucht, ohne sie vereinfachen zu können:
f(x)= [mm] \bruch{(-2) * (x^2 - 9)^2 - ( -2x) * 2 * (x^2 - 9) * 2x )}{( x^2 - 9) ^4} [/mm]
Folgende Funktion müsste rauskommen:
[mm] \bruch{6 x^2 + 18}{(x^2 - 9 ) ^3} [/mm]
Wahrscheinlich ist das Ergebnis ganz einfach, aber ich komme nicht drauf. Kann man den Term [mm] (x^2 [/mm] - 9) vielleicht ausklammern? Aber wie?
Schöne Grüße, Jana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Di 03.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Jana
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!Ich habe mich schon stundenlang an folgender
> Ableitung versucht, ohne sie vereinfachen zu können:
> f(x)= [mm]\bruch{(-2) * (x^2 - 9)^2 - ( -2x) * 2 * (x^2 - 9) * 2x )}{( x^2 - 9) ^4}[/mm]
>
> Folgende Funktion müsste rauskommen:
> [mm]\bruch{6 x^2 + 18}{(x^2 - 9 ) ^3}[/mm]
>
> Wahrscheinlich ist das Ergebnis ganz einfach, aber ich
> komme nicht drauf. Kann man den Term [mm](x^2[/mm] - 9) vielleicht
> ausklammern? Aber wie?
>
Ja, genau das kann man machen. Sehr gut! 
Ich habe mich da immer eines Tricks bedient, bis ich das etwas lockerer aus dem Handgelenk schütteln konnte. Der Trick ist dieser: den Term, wie kompliziert er auch sein mag, kannst du ganz einfach mit einem Buchstaben abkürzen und dann diesen ausklammern. Nachher kannst du den Buchstaben wieder mit dem komplizierten Term ersetzen.
Hier setzte ich in der Formel also überall, wo [mm] $x^2-9$ [/mm] steht, ein $A_$ ein.
Dann sieht es so aus:
[mm] $\bruch{(-2)*(x^2 - 9)^2-(-2x)*2*(x^2 - 9)*2x}{( x^2 - 9)^4}$
[/mm]
wird zu:
[mm] $\bruch{(-2)*A^2-(-2x)*2*A*2x}{A^4}$
[/mm]
Jetzt kannst du sofort ausklammern oder auch zuerst die Faktoren etwas zusammenfassen:
[mm] $\bruch{-2*A^2+8x^2*A}{A^4}$
[/mm]
(minus mal minus ist plus)
Vielleicht ist es schöner, im Zähler zuerst den positiven Summanden zu nehmen:
[mm] $\bruch{8x^2*A-2*A^2}{A^4}$
[/mm]
Jetzt das $A_$ ausklammern:
[mm] $\bruch{A(8x^2-2*A)}{A^4}$
[/mm]
Und noch ein $A_$ wegkürzen:
[mm] $\bruch{8x^2-2*A}{A^3}$
[/mm]
So, jetzt kann man für $A$ wieder [mm] $x^2-9$ [/mm] einsetzten. Es ist einfach Vorsicht geboten, dass man, falls $A_$ als Faktor vorkommt, dann auch die Klammern setzt!
[mm] $\bruch{8x^2-2*(x^2-9)}{(x^2-9)^3}$
[/mm]
Jetzt einfach noch ausmultiplizieren:
[mm] $\bruch{8x^2-2x^2+18}{(x^2-9)^3}$
[/mm]
(Achtung auch hier: minus mal minus = plus)
Etwas zusammenfassen:
[mm] $\bruch{6x^2+18}{(x^2-9)^3}$
[/mm]
So, das wärs auch schon. Ich persönlich würde im Zähler noch eine $6_$ ausklammern:
[mm] $\bruch{6(x^2+3)}{(x^2-9)^3}$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Di 03.05.2005 | | Autor: | Jana86 |
Vielen Dank für die Antwort! Hab jetzt alles verstanden.
Der Tipp mit dem Ersetzen (durch A oder so) ist richtig schlau. Den werde ich mir merken! Dadurch ist die Funktion gar nicht mehr so schwer, wie vorher... Danke! Schöne Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Di 03.05.2005 | | Autor: | Jana86 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe da noch eine Nachfrage zu einer anderen Funktion. Sie lautet
f(x) = [mm] \bruch{ 3x^2 - 8x}{(x-2)^2}
[/mm]
Die Funktion stammt aus einem Analysis-Buch, dass ich besitze. Dort steht auch der Lösungsweg angedeutet.Die erste Ableitung müsste demnach so lauten:
f'(x) = [mm] \bruch{ (6x-8) * (x-2)^ 2 - (3x^2 - 8x) * 2(x-2)}{(x-2)^4 } [/mm]
Das ist ja auch noch logisch nachvollziehbar für mich. Komisch finde ich aber, dass in dann folgendes passiert:
= [mm] \bruch{(6x-8)(x-2) - 2(3x^2 - 8x)}{ (x-2)^3} [/mm]
Das heißt ja, dass der Term (x-2) an oben und unten rausgekürzt werden darf. Aber er wird oben an zwei Stellen gleichzeitig rausgekürzt und unten wird aus [mm] (x-2)^4 [/mm] nur [mm] (x-2)^3!
[/mm]
Außerdem dachte ich, dass man in Summen nicht kürzen darf?!?
Eine verwirrte Jana
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Hallo Jana!
> f(x) = [mm]\bruch{ 3x^2 - 8x}{(x-2)^2}[/mm]
>
> Das heißt ja, dass der Term (x-2) an oben und unten
> rausgekürzt werden darf. Aber er wird oben an zwei Stellen
> gleichzeitig rausgekürzt und unten wird aus [mm](x-2)^4[/mm] nur
> [mm](x-2)^3![/mm]
> Außerdem dachte ich, dass man in Summen nicht kürzen
> darf?!?
Da hast Du auch völlig recht. Der Trick an der Sache ist, daß (wie oben in der Aufgabe) zunächst einmal der Ausdruck [mm] $\left(x-2\right)$ [/mm] ausgeklammert wird. Dieser Schritt wird häufig ausgelassen:
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{(6x-8)*(x-2)^2 - (3x^2 - 8x)*2(x-2)}{(x-2)^4 } \ = \ \bruch{(x-2)*[(6x-8)*(x-2)^{\blue{1}} - (3x^2 - 8x)*2*\blue{1}]}{(x-2)^4 }[/mm]
Nun kürzen, was ja jetzt auch erlaubt ist wegen Produkt im Zähler, und Du hast Dein gewünschtes Ergebnis.
Hat's jetzt KLICK gemacht ??
Gruß vom -hoffentlich entwirrenden-
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Di 03.05.2005 | | Autor: | Jana86 |
Ja, stimmt..... Es hat KLICK gemacht. Ich glaube, ich habs nicht so mit dem Ausklammern. Aber es ist logisch...Sogar sehr...Danke!!!
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