Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Fr 16.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | [mm] L(x)=\bruch{x^2}{(1+x^2)^2}
[/mm]
mit der Quotientenregel berechnet man jeweils die erste und zweite Ableitung |
die erste Ableitung [mm] L'(x)=\bruch{(2x-2x^3)}{(1+x^2)^3}
[/mm]
die zweite Ableitung [mm] L''(x)=\bruch{2-28x^6-18x^8-12x^2}{(1+x^2)^9}
[/mm]
ist es richtig?
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Hallo safsaf,
> [mm]L(x)=\bruch{x^2}{(1+x^2)^2}[/mm]
> mit der Quotientenregel berechnet man jeweils die erste
> und zweite Ableitung
> die erste Ableitung [mm]L'(x)=\bruch{(2x-2x^3)}{(1+x^2)^3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die zweite Ableitung
> [mm]L''(x)=\bruch{2-28x^6-18x^8-12x^2}{(1+x^2)^9}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt nicht, im Nenner sollte auf jeden Fall [mm] $(1+x^2)^4$ [/mm] stehen.
Die Potenz im Nenner erhöht sich mit jeder Ableitung um genau 1. Klammere jeweils entsprechend im Zähler aus...
>
> ist es richtig?
Die 1.Ableitung ja, die 2. nicht. Rechne mal ausführlich vor ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 16.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | hallo Schachuzipus,
bei der zweite Ableitung komme ich zwar auf andere Ergbenisse aber im nenner immer noch potenz 9 |
[mm] L''(x)=\bruch{2-22x^2-18x^4+2x^6+8x^8}{(1+x^2)^9}
[/mm]
ich hab's versucht die Funktion umzuschreiben wie bei der ersten Ableitung aber geht's nicht, kannst du mir ein Tipp geben ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo safsaf!
Wie schauchuzipus oben schon schreibe: bitte vorrechnen, damit man auch kontrollieren kann.
Jedenfalls wendest Du wohl ein vermeintliches  Potenzgesetz falsch an.
Es gilt:
[mm] $$\left( \ a^m \ \right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$$
[/mm]
Damit solltest Du nämlich in der 2. Ableitung im Nenner zunächst auf [mm] $\left( \ ... \ \right)^{\red{6}}$ [/mm] kommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Fr 16.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | ok danke schön
[mm] L''(x)=\bruch{(2x-2x^3)'(1+x^2)^3 -[(2x-2x^3)((1+x^2)^3)']}{(1+x^2)^6}=\bruch{(2-4x^2)(1+3x^2+3x^4+x^6)-[(2x-2x^3)(6x+12x^3+6x^5)]}{(1+x^2)^6}=\bruch{2-28x^6-18x^8-12x^2}{(1+x^2)^6} [/mm] |
so ?
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Hallo safsaf,
> ok danke schön
> [mm]L''(x)=\bruch{(2x-2x^3)'(1+x^2)^3 -[(2x-2x^3)((1+x^2)^3)']}{(1+x^2)^6}=\bruch{(2-4x^2)(1+3x^2+3x^4+x^6)-[(2x-2x^3)(6x+12x^3+6x^5)]}{(1+x^2)^6}=\bruch{2-28x^6-18x^8-12x^2}{(1+x^2)^6}[/mm]
> so ?
Hier muss doch zunächst stehen:
[mm]L''(x)=\bruch{(2x-2x^3)'(1+x^2)^3 -[(2x-2x^3)((1+x^2)^3)']}{(1+x^2)^6}=\bruch{(2-\red{6}x^2)(1+3x^2+3x^4+x^6)-[(2x-2x^3)(6x+12x^3+6x^5)]}{(1+x^2)^6} [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Fr 16.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | ohh ok danke
$ [mm] L''(x)=\bruch{(2x-2x^3)'(1+x^2)^3 -[(2x-2x^3)((1+x^2)^3)']}{(1+x^2)^6}=\bruch{(2-6x^2)(1+3x^2+3x^4+x^6)-[(2x-2x^3)(6x+12x^3+6x^5)]}{(1+x^2)^6}=\bruch{2-24x^4+6x^8-24x^2}{(1+x^2)^6} [/mm] $
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hoffe das war die einzige Fehler :)
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Hallo safsaf,
> ohh ok danke
> [mm]L''(x)=\bruch{(2x-2x^3)'(1+x^2)^3 -[(2x-2x^3)((1+x^2)^3)']}{(1+x^2)^6}=\bruch{(2-6x^2)(1+3x^2+3x^4+x^6)-[(2x-2x^3)(6x+12x^3+6x^5)]}{(1+x^2)^6}=\bruch{2-24x^4+6x^8-24x^2}{(1+x^2)^6}[/mm]
>
>
> hoffe das war die einzige Fehler :)
Leider war das nicht der einzige Fehler.
Die rot markiertem Ausdrücke sind falsch bzw. fehlen:
[mm]\bruch{2-24x^4+6x^8-\red{24}x^2+\red{\ ... \ x^{6}}}{(1+x^2)^6}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Fr 16.07.2010 | | Autor: | safsaf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | $ \bruch{2+6x^8-12x^2-24x^4-4x^{6}}}{(1+x^2)^6} $ |
und jetzt?
lg saf
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Hallo safsaf,
> [mm]\bruch{2+6x^8-12x^2-24x^4-4x^{6}}}{(1+x^2)^6}[/mm]
> und jetzt?
Jetzt stimmts.
>
> lg saf
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Fr 16.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | noch eine Frage bitte?
kann man feststellen dass diese Funktion L''(x)>0 ist ? |
das brauche ich um die kritischen Punkte zu bestimmen. nach L'(x) sind x=1, x=-1 und x=0 meine kritischen Punkte. mit L'' bestimme ich ob L'' einn Sottelpunkt Tiefpunkt oder Hochpunkt hat.
lg saf
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Hallo safsaf,
> noch eine Frage bitte?
> kann man feststellen dass diese Funktion L''(x)>0 ist ?
Das kann man.
Forme dazu den erhaltenen Ausdruck etwas um, denn
der Zähler von L''(x) hat gemeinsame Faktoren mit dem
Nenner von L''(x).
Wende dann aus den erhaltenen Term quadratische Ergänzung an.
> das brauche ich um die kritischen Punkte zu bestimmen.
> nach L'(x) sind x=1, x=-1 und x=0 meine kritischen Punkte.
> mit L'' bestimme ich ob L'' einn Sottelpunkt Tiefpunkt oder
> Hochpunkt hat.
> lg saf
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 17.07.2010 | | Autor: | safsaf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | ich hab's jetzt umgeschrieben
$ \bruch{2+6x^8-12x^2-24x^4-4x^{6}}}{(1+x^2)^6} $=\bruch{-6x^4+16x^2-2}{(1+x^2)^4} |
ist es richtig?
wie stelle ich fest dass -6x^4+16x^2-2\ge0.
gibt's eine bestimmte Methode?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Sa 17.07.2010 | | Autor: | safsaf |
[mm] -6x^4+16x^2-2>,< [/mm] oder = 0 war nicht richtig in meine vorherige Frage.
danke
lg saf
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Hallo safsaf,
> ich hab's jetzt umgeschrieben
> [mm]\bruch{2+6x^8-12x^2-24x^4-4x^{6}}}{(1+x^2)^6}[/mm][mm] =\bruch{-6x^4+16x^2-2}{(1+x^2)^4}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]=\bruch{6x^4-16x^2+2}{(1+x^2)^4}[/mm]
>
> ist es richtig?
Fast.
Beim Vereinfachen hat sich hier ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
>
> wie stelle ich fest dass [mm]-6x^4+16x^2-2\ge0.[/mm]
> gibt's eine bestimmte Methode?
Dann musst Du feststellen, wann
[mm]6x^4-16x^2+2\ge0.[/mm]
Schreibe dazu diesen Ausdruck so:
[mm]6x^4-16x^2+2=a*\left(x^{2}+b\right)^{2}+c[/mm]
Das Verfahren nennt man quadratische Ergänzung.
Natürlich kannst Du auch die Nullstellen von [mm]6x^4-16x^2+2[/mm] berechnen.
Dann schreibt sich [mm]6x^4-16x^2+2[/mm] so:
[mm]6*\left(x-x_{0}\right)*\left(x-x_{1}\right)*\left(x-x_{2}\right)*\left(x-x_{3}\right)[/mm]
,wobei [mm]x_{i}, \ i=0,1,2,3[/mm] diese Nullstellen sind.
Hier musst Du dann das Produkt untersuchen, wann dieses [mm]\ge 0[/mm] ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 17.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | danke schön, ich hab's mit dieser quadratischen Ergänzung versucht. dann komme ich auf : [mm] (x^2-8)^2+5x^4+66
[/mm]
ist es richtig ? |
da [mm] (x^2-8)^2\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R
und [mm] x^4 [/mm] bzw. [mm] 5x^4\ge0 [/mm] gilt ist meine Funktion >66 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R
L''(x)>0 dann hat meine Funktion einen Tiefpunkt = 66
ist es richtig? das ist das erste Mal das ich solche Punkte bestimme und weiß nicht genau wie es geht.
danke
lg saf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 17.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Saf,
bei deiner quadratischen Ergänzung ist einiges falsch gelaufen. Das Ergebnis stimmt so nicht.
Aber suchst du nicht eigentlich die kritischen Punkte der Funktion L?
Dazu hast du L'(x) = 0 gesetzt und x = 0. x = 1 und x = -1 erhalten. Setze jetzt diese x-Werte nacheinander in L''(x) ein, also L''(0) = ..., L''(1)=... und L''(-1) = ... . Je nach dem, ob diesr Werte < 0 oder > 0 ist, idt an der x-Stelle ein Hoch- oder Tiefpunkt. Der Hoch- oder Tiefpunkt selbst ist dann $(x, L(x) )$
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 17.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | vielen Dank,wusste überhaupt nicht dass ich damit so umgehen soll , dann brauche ich die quadratische Ergänzung nicht mehr oder ?!
also L''(0)=2>0
[mm] L''(1)=\bruch{-1}{2}<0
[/mm]
[mm] L''(-1)=\bruch{-1}{2}<0 [/mm] |
was bedeuten diese Werte ?
L''(0) ist ein Tiefpunkt
L''(1) und L''(-1) ein Hochpunkt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 17.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist richtig.
Grund: mal dir mal ein Max und ein Min auf, beim Max steigt die Kurve zuerst, biem max ist die steigung 0 dann fällt sie, die Ableitung f'(x) ist also zuerst positiv, dann negativ, d.h.f'(x) fällt beim Max, deshalb muss die Ableitung von f'(x) also f''(x) negativ sein. Überleg es jetzt für das Min. selbst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 17.07.2010 | | Autor: | safsaf |
| Aufgabe | | ich weiß nicht wie ich die Maxima und Minima bestimme? |
was soll ich da nehmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Sa 17.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Frage ist unverstndlich. hast du meinen post gelesen?
was ist unklar?
bitte geh auf posts ein
gruss leduart
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