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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Hallo , gegeben ist folgende Kurvenschar:

[mm] f_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{a-1}{3}*x^3 [/mm] -ax

Die 1. Ableitung : [mm] \bruch{a-1}{3} *3x^2 [/mm] -a

Die 2. Ableitung : [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] *6x

Die 3. Ableitung : [mm] \bruch{a-1}{3}*6 [/mm]

Ist das richtig ? Wird [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] nicht als Faktor betrachtet ?

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 So 04.12.2011
Autor: notinX

Hallo,

> Hallo , gegeben ist folgende Kurvenschar:
>  
> [mm]f_a(x)[/mm] = [mm]\bruch{a-1}{3}*x^3[/mm] -ax
>  
> Die 1. Ableitung : [mm]\bruch{a-1}{3} *3x^2[/mm] -a
>  
> Die 2. Ableitung : [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] *6x
>  
> Die 3. Ableitung : [mm]\bruch{a-1}{3}*6[/mm]
>  
> Ist das richtig ? Wird [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] nicht als Faktor
> betrachtet ?  

ich verstehe Deine Frage nicht so ganz. Beides ist richtig - die Ableitungen stimmen und [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] ist ein (konstanter) Faktor.

Gruß,

notinX

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Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Damit wollte ich eig. nur fragen , ob der Bruch als Faktor gesehen wird, wird es auch , danke für deine Antwort.

Mit dieser Schar muss ich jetzt eine komplette Kurvendiskussion durchführen:

Also erstens die Nullstellen
[mm] f_a(x) [/mm] = 0

0 = [mm] \bruch{a-1}{3}x^3 [/mm] -ax

ax= [mm] \bruch{a-1}{3}x^3 [/mm]

[mm] \bruch{ax}{x^3} [/mm] = [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm]

[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x^2} [/mm]

a-1 = [mm] \bruch{3a}{x^2} [/mm]

[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{3a}{a-1} [/mm]

[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{3a}{a-1}} [/mm]

Ist das so richtig ?


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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 So 04.12.2011
Autor: notinX


> Damit wollte ich eig. nur fragen , ob der Bruch als Faktor
> gesehen wird, wird es auch , danke für deine Antwort.
>  
> Mit dieser Schar muss ich jetzt eine komplette
> Kurvendiskussion durchführen:
>  
> Also erstens die Nullstellen
>  [mm]f_a(x)[/mm] = 0
>  
> 0 = [mm]\bruch{a-1}{3}x^3[/mm] -ax
>  
> ax= [mm]\bruch{a-1}{3}x^3[/mm]
>  
> [mm]\bruch{ax}{x^3}[/mm] = [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{a}{x^2}[/mm]
>  
> a-1 = [mm]\bruch{3a}{x^2}[/mm]
>  
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{3a}{a-1}[/mm]
>  
> [mm]x_1_2[/mm] = [mm]\pm \wurzel{\bruch{3a}{a-1}}[/mm]
>  
> Ist das so richtig ?

die zwei Lösungen stimmen, aber es gibt noch eine dritte Nullstelle.

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Die 3. Nullstelle ist 0 , oder ?


EDIT:
Ich muss aber bei der Nullstelle eine Bedingung angeben , oder ?
a muss größer als 1 sein , sonst teile ich durch 0 , und das ist nicht definiert.

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 So 04.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Die 3. Nullstelle ist 0 , oder ?

Jo

>  
>
> EDIT:
>  Ich muss aber bei der Nullstelle eine Bedingung angeben ,
> oder ?
>  a muss größer als 1 sein , sonst teile ich durch 0 , und
> das ist nicht definiert.

Naja, zuerst mal muss [mm] $a\neq [/mm] 1$ sein.

Andererseits sollte [mm] $\frac{3a}{a-1}\ge [/mm] 0$ sein, sonst ist die Wurzel nicht definiert.

Für welche $a$ gilt das?

Gruß

schachuzipus


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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Es gibt also 2 Bedingungen ja ?

Einmal muss a ungleich 1 sein.
Und einmal muss das , was unter der Wurzel steht ( Diskriminante ?? ) größer oder gleich 0 sein ?

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 So 04.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Es gibt also 2 Bedingungen ja ?
>  
> Einmal muss a ungleich 1 sein.
>  Und einmal muss das , was unter der Wurzel steht (
> Diskriminante ?? ) größer oder gleich 0 sein ?  

Ja!

Gruß

schachuzipus


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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Okay , vielen Dank.

Da ich ja eine Kurvendiskussion durchführen muss , muss ich auch die Wendepunkte bestimmen.

Bedingung : [mm] f''(x_w) [/mm] = 0
[mm] (\bruch{a-1}{3}) [/mm] 6x = 0

Wie mache ich das nun ? Egal was ich auf die andere Seite bringe , es wird durch 0 geteilt , muss ich hier was besonderes machen ? ( Ausklammern, Ausmultiplizieren , oder so ) ?

Danke schonmal im Voraus.

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 So 04.12.2011
Autor: notinX


> Okay , vielen Dank.
>  
> Da ich ja eine Kurvendiskussion durchführen muss , muss
> ich auch die Wendepunkte bestimmen.
>  
> Bedingung : [mm]f''(x_w)[/mm] = 0
>  [mm](\bruch{a-1}{3})[/mm] 6x = 0
>  
> Wie mache ich das nun ? Egal was ich auf die andere Seite
> bringe , es wird durch 0 geteilt , muss ich hier was

Häh? durch 0 teilen sollte man tunlichst vermeiden. Wann ist denn ein Produkt null? Wenn einer der beiden Faktoren 0 wird. Bis 6 zu null wird kannst Du lange warten, es bleibt also nur das x.

> besonderes machen ? ( Ausklammern, Ausmultiplizieren , oder
> so ) ?
>  
> Danke schonmal im Voraus.

Gruß,

notinX

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Also heißt es dann , das x = 0 ist , das ist dann der Wendepunkt ? Also W ( 0| 0 )

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Tut mir Leid , hab noch eine wichtige Frage :

Ich bin jetzt bei den Extremstellen , ich möchte Tief-und Hochpunkte bestimmen ;

f'(x) = 0
[mm] \bruch{a-1}{3} 3x^2 [/mm] -a = 0

[mm] \bruch{a-1}{3} 3x^2 [/mm] = a

[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{3x^2} [/mm]

a-1 = [mm] \bruch{3a}{3x^2} [/mm]

a-1 = [mm] \bruch{a}{x^2} [/mm]

[mm] x^2(a-1) [/mm] = a

[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{a}{a-1} [/mm]

[mm] x_1/2 [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{a}{a-1}} [/mm]

Und das setze ich in die 2. Ableitung ein :

[mm] f''(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}) [/mm] = [mm] \bruch{a-1}{3}*6\wurzel{\bruch{a}{a-1}} [/mm]

Ist das soweit richtig ?

Bezug
                                                                                                
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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 So 04.12.2011
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Tut mir Leid , hab noch eine wichtige Frage :
>  
> Ich bin jetzt bei den Extremstellen , ich möchte Tief-und
> Hochpunkte bestimmen ;
>  
> f'(x) = 0
>  [mm]\bruch{a-1}{3} 3x^2[/mm] -a = 0
>  
> [mm]\bruch{a-1}{3} 3x^2[/mm] = a
>  
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{a}{3x^2}[/mm]
>  
> a-1 = [mm]\bruch{3a}{3x^2}[/mm]
>  
> a-1 = [mm]\bruch{a}{x^2}[/mm]
>  
> [mm]x^2(a-1)[/mm] = a
>  
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{a}{a-1}[/mm]
>  
> [mm]x_1/2[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]x_{1,2} = \blue{\pm}\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm]


> Und das setze ich in die 2. Ableitung ein :
>  
> [mm]f''(\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm] =
> [mm]\bruch{a-1}{3}*6\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig ?  



Das stimmt für die positive Extremstelle. [ok]


Gruss
MathePower

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Danke für die Antwort , aber jetzt muss ich ja  [mm] {\pm}\wurzel{\bruch{a}{a-1}} [/mm] in die Ausgangsfunktion einsetzen , also für x.
Ausgangsfunktion : f (x) = [mm] \bruch{a-1}{3}*x^3-ax [/mm]

Dann sieht das bei mir so aus:

[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] * [mm] (\wurzel{\bruch{a}{a-1}})^3 [/mm] - [mm] a*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}) [/mm]

=>  [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] * ( [mm] \bruch{a}{a-1} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{a}{a-1}}) [/mm] - a* [mm] \wurzel{\bruch{a}{a-1}} [/mm]

=> [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] * ( [mm] \bruch{a*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}}{a-1}) [/mm] - [mm] (a*\wurzel{\bruch{a}{a-1}}) [/mm]

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Ableitung: Neue Teilaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Für welche a [mm] \in \IR [/mm] gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x- Achse.


Schnittpunkt mit der x - Achse heißt : f(x) = 0

f(x) = [mm] \bruch{a-1}{3} x^3 [/mm] -ax

0 = [mm] \bruch{a-1}{3} x^3 [/mm] -ax

[mm] \bruch{a-1}{3} x^3 [/mm] = ax

[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{ax}{x^3} [/mm]

[mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x^2} [/mm]

[mm] \bruch{3a}{x^2} [/mm] = a-1

[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{3a}{a-1} [/mm]

x = [mm] \wurzel{\bruch{3a}{a-1}} [/mm]

Man kann doch alles für a einsetzen , damit man zwei Schnittpunkte hat , außer die 0 und die 1, oder nicht ?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 So 04.12.2011
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Für welche a [mm]\in \IR[/mm] gibt es mehr als einen Schnittpunkt
> mit der x- Achse.
>  
> Schnittpunkt mit der x - Achse heißt : f(x) = 0
>  
> f(x) = [mm]\bruch{a-1}{3} x^3[/mm] -ax
>  
> 0 = [mm]\bruch{a-1}{3} x^3[/mm] -ax
>  
> [mm]\bruch{a-1}{3} x^3[/mm] = ax
>  
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{ax}{x^3}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{a}{x^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{3a}{x^2}[/mm] = a-1
>  
> [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{3a}{a-1}[/mm]
>  
> x = [mm]\wurzel{\bruch{3a}{a-1}}[/mm]
>  
> Man kann doch alles für a einsetzen , damit man zwei
> Schnittpunkte hat , außer die 0 und die 1, oder nicht ?


Das ist richtig. [ok]


Gruss
MathePower

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Bezug
Ableitung: 2. Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Alles klar vielen Dank , ich habe eine zweite Aufgabe ( will jetzt kein neuen Thread aufmachen ) und zwar diese hier :

Der Parameter a der Kurvenschar [mm] f_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * ( [mm] x^4-ax^2) [/mm] soll so gewählt werden , dass der Graph bei x = 1 einen Wendepunkt hat. Wie lauten dann die Koordinaten des zweiten Wendepunktes.

Wo liegen die Wendepunkte von [mm] f_a [/mm] ? Stellen Sie die Gleichungen der Wendetangenten auf.

Also zu der ersten habe ich das hier :

Bei x = 1 hat er einen Wendepunkt , d.h :

f''(x) = [mm] 3x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}a [/mm]
f''(x) = 0

3- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] a = 0
[mm] -\bruch{1}{2}a [/mm] = -3

[mm] -\bruch{a}{2} [/mm] = -3

[mm] \bruch{a}{2} [/mm] = 3
a = 6.
Um die Koordinaten des zweiten Wendepunktes zu berechnen, kann ich ja für x die 1 und für a die 6 einsetzen , bekomme dann -1,5 raus , also W ( 1|-1,5) ; ist das richtig , oder habe ich einen Denkfehler ?

Und bei der zweiten Aufgabe , er will doch einfach die Koordinaten aus der oberen Aufgabe , oder nicht ? Und dann will er dass ich einfach Tangenten an diese Koordinaten lege , oder nicht ?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 So 04.12.2011
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Alles klar vielen Dank , ich habe eine zweite Aufgabe (
> will jetzt kein neuen Thread aufmachen ) und zwar diese
> hier :
>  
> Der Parameter a der Kurvenschar [mm]f_a(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] * (
> [mm]x^4-ax^2)[/mm] soll so gewählt werden , dass der Graph bei x =
> 1 einen Wendepunkt hat. Wie lauten dann die Koordinaten des
> zweiten Wendepunktes.
>  
> Wo liegen die Wendepunkte von [mm]f_a[/mm] ? Stellen Sie die
> Gleichungen der Wendetangenten auf.
>  
> Also zu der ersten habe ich das hier :
>  
> Bei x = 1 hat er einen Wendepunkt , d.h :
>  
> f''(x) = [mm]3x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}a[/mm]
> f''(x) = 0
>
> 3- [mm]\bruch{1}{2}[/mm] a = 0
>  [mm]-\bruch{1}{2}a[/mm] = -3
>  
> [mm]-\bruch{a}{2}[/mm] = -3
>  
> [mm]\bruch{a}{2}[/mm] = 3
>  a = 6.
>  Um die Koordinaten des zweiten Wendepunktes zu berechnen,
> kann ich ja für x die 1 und für a die 6 einsetzen ,
> bekomme dann -1,5 raus , also W ( 1|-1,5) ; ist das richtig
> , oder habe ich einen Denkfehler ?
>  


Die y-Koordinate der Wendepunkte muss [mm]-\bruch{5}{4}[/mm] lauten.


> Und bei der zweiten Aufgabe , er will doch einfach die
> Koordinaten aus der oberen Aufgabe , oder nicht ? Und dann
> will er dass ich einfach Tangenten an diese Koordinaten
> lege , oder nicht ?  


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                
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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor


> Die y-Koordinate der Wendepunkte muss [mm]-\bruch{5}{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> lauten.

Ich verstehe das irgendwie nicht , es müssen ja 2 Wendepunkte existieren.


Wenn ich die 1 in die Ausgangsfunktion einsetze bekomme ich jetzt auch - -\bruch{5}{4\ raus , hatte es vorher falsch eingetippt.

Das ist ja aber nur ein Wendepunkt , was ist denn mit dem zweiten ?


Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 So 04.12.2011
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

>
> > Die y-Koordinate der Wendepunkte muss
> [mm]-\bruch{5}{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer

> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
>
> > lauten.
>  
> Ich verstehe das irgendwie nicht , es müssen ja 2
> Wendepunkte existieren.
>  
>
> Wenn ich die 1 in die Ausgangsfunktion einsetze bekomme ich
> jetzt auch - -\bruch{5}{4\ raus , hatte es vorher falsch
> eingetippt.
>  
> Das ist ja aber nur ein Wendepunkt , was ist denn mit dem
> zweiten ?
>  


Der zweite Wendepunkt hat denselben Wert,
da in der Funktion nur gerade Exponenten vorkommen.


Grus
MathePower

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Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Alles klar MathePower vielen Dank für deine ausführliche Hilfe, hast mir sehr geholfen, schönen Abend noch.

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 So 04.12.2011
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Danke für die Antwort , aber jetzt muss ich ja  
> [mm]{\pm}\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm] in die Ausgangsfunktion
> einsetzen , also für x.
> Ausgangsfunktion : f (x) = [mm]\bruch{a-1}{3}*x^3-ax[/mm]
>  
> Dann sieht das bei mir so aus:
>  
> [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] * [mm](\wurzel{\bruch{a}{a-1}})^3[/mm] -
> [mm]a*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm]
>  
> =>  [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] * ( [mm]\bruch{a}{a-1}[/mm] *

> [mm]\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm] - a* [mm]\wurzel{\bruch{a}{a-1}}[/mm]
>  


Das  muss doch so lauten:

[mm]\bruch{a-1}{3} * ( \bruch{a}{a-1} * \wurzel{\bruch{a}{a-1}} - a* \wurzel{\bruch{a}{a-1}}\blue{)}[/mm]


> => [mm]\bruch{a-1}{3}[/mm] * (
> [mm]\bruch{a*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}}{a-1})[/mm] -
> [mm](a*\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm]  


[ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 So 04.12.2011
Autor: pc_doctor

Das ist also die y- Koordinate vom Tiefpunkt ja ?
$ [mm] \bruch{a-1}{3} \cdot{} [/mm] ( [mm] \bruch{a}{a-1} \cdot{} \wurzel{\bruch{a}{a-1}} [/mm] - [mm] a\cdot{} \wurzel{\bruch{a}{a-1}}\blue{)} [/mm] $

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 So 04.12.2011
Autor: MathePower

Hallo pc-doctor,

> Das ist also die y- Koordinate vom Tiefpunkt ja ?
> [mm]\bruch{a-1}{3} \cdot{} ( \bruch{a}{a-1} \cdot{} \wurzel{\bruch{a}{a-1}} - a\cdot{} \wurzel{\bruch{a}{a-1}}\blue{)}[/mm]


Ob das ein Tiefpunkt ist, hängt offenbar vom Parameter a ab.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 So 04.12.2011
Autor: MathePower

Hallo pc_doctor,

> Also heißt es dann , das x = 0 ist , das ist dann der
> Wendepunkt ? Also W ( 0| 0 )


Für [mm]a \not=1[/mm] ist das ein Wendepunkt.


Gruss
MathePower

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