Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung von:
[mm] $\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}, \; \mapsto \frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}+\frac{m+1}{2}(x_1)^2+\frac{m+1}{2}(b-x_m)^2-\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k},\;\; a,b\in\mathbb{R}, \; g\in\mathbb{R}^m \quad \text{fest}$ [/mm] |
Hallo,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe und habe mir bis jetzt folgende Gedanken gemacht:
Ich habe [mm] $f_3$ [/mm] aufgeteilt in:
[mm] $g(x):=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}$
[/mm]
[mm] $h(x):=\frac{m+1}{2}(x_1)^2$
[/mm]
[mm] $i(x):=\frac{m+1}{2}(b-x_m)^2$
[/mm]
[mm] $j(x):=\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k}$
[/mm]
Dann habe ich mir $g$ genauer angeschaut:
[mm] $g(x)=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{\substack{k=2\\k\neq p\\ k\neq p+1}}^m{(x_k-x_{k-1})^2+(x_p-x_{p-1})^2+(x_{p+1}-x_p)^2}$ [/mm] für [mm] $2\leq [/mm] p [mm] \leq [/mm] m-1$
Somit ergibt sich für [mm] $\frac{\partial g_p}{\partial x_p}=\vektor{(m+1)(x_1-x_2)\\(m+1)(2x_3-x_2-x_4)\\ \vdots \\ (m+1)(x_{m-1}-x_{m-2}-x_m) \\ (m+1)(x_m-x_{m-1}}$
[/mm]
Für [mm] $\frac{\partial h_p}{\partial x_p}=\vektor{(m+1)(x_1-a)\\0\\ \vdots \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Für [mm] $\frac{\partial i_p}{\partial x_p}=\vektor{0\\0\\ \vdots \\ 0 \\ (m+1)(2x_m-b)}
[/mm]
Jedoch weiß ich nicht genau, was ich bei [mm] $j(x):=\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k}$ [/mm] mit dem [mm] $g_k$ [/mm] anfangen soll.
Das ist ja eigentlich fest, aber was hat dann der Laufindex $k$ hier zu suchen?
Das verstehe ich nicht ganz.
Aber stimmt mein Ansatz bis jetzt ungefähr?
Vielen Dank
DudiPupan
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