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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 So 08.09.2013
Autor: xxela89xx

Aufgabe
1 + [mm] sin^{3}(x) [/mm] zwei mal ableiten

Hallöchen,

kann mir bitte jemand weiterhelfen? In der Lösung steht

[mm] g'(x)=3*sin^2 [/mm] (x)*cos(x) ,

aber wieso ist der zweite Teil richtig, also das mit dem cosinus?
Und so sieht die zweite Ableitung aus
[mm] g''(x)=3*(2*sin(x)*cos(x)*cos(x)+sin^2 [/mm] (x)*(-sin(x)))=

=6* [mm] sin(x)*cos^2(x)-3 sin^3 [/mm] (x)

Ich komme irgendwie nicht weiter, könnte mir jemand das Ganze Schritt für Schritt erklären?

Freundliche Grüße




        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 So 08.09.2013
Autor: Valerie20

Hi!

> 1 + [mm]sin^{3}(x)[/mm] zwei mal ableiten
> Hallöchen,

>

> kann mir bitte jemand weiterhelfen? In der Lösung steht

>

> [mm]g'(x)=3*sin^2[/mm] (x)*cos(x) ,

>

> aber wieso ist der zweite Teil richtig, also das mit dem
> cosinus?

Das liegt an der Kettenregel.
Bezeichnen wir einfach mal: $u(x)=sin(x)$, dann ist:

[mm] $g(x)=1+u(x)^3$ [/mm]

und somit:

[mm] $g'(x)=3\cdot u(x)^2 \cdot [/mm] u(x)'$

Die Ableitung vom Sinus ist nunmal der Cosinus.

Also:
$u(x)=sin(x)$

$u'(x)=cos(x)$

Kannst du nun deine zweite Ableitung nachvollziehen?

Valerie

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 So 08.09.2013
Autor: xxela89xx

Ist also die Ableitung vom sinus immer der cosinus, obwohl da noch ein Exponent und eine Konstante neben dem sinus sind? Ich dachte, dass man die auch noch ableiten muss.

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 So 08.09.2013
Autor: M.Rex


> Ist also die Ableitung vom sinus immer der cosinus, obwohl
> da noch ein Exponent und eine Konstante neben dem sinus
> sind? Ich dachte, dass man die auch noch ableiten muss.

Das passiert ja in der äußeren Ableitung

Du hast:

[mm] f(x)=1+(\sin(x))^{3} [/mm]

Nun ist die äußere Funktion [mm] 1+y^{3} [/mm] und die innere Funktion der Sinus.

Also:

[mm] f'(x)=\underbrace{3\cdot(\sin(x))^{2}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{\text{innere Abl.}} [/mm]

Marius

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 So 08.09.2013
Autor: xxela89xx

Ach so! Super, jetzt habe ich es verstanden, ich hatte die 1 ganz weggelassen.
Und bei der zweiten Ableitung? Welches ist dort die innere und welches die äußere Klammer? Bei der Lösung sind so viele Terme :S

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Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 So 08.09.2013
Autor: fred97

Wir haben [mm] f'(x)=3*(sin(x))^2*cos(x) [/mm]

Die Ableitung von [mm] (sin(x))^2 [/mm] bestimme mit der Kettenregel , die Ableitung f'' dann mit der Produktregel.

FRED

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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 So 08.09.2013
Autor: xxela89xx

Oh, ich habe das nur mit der Kettenregel versucht. Jetzt habe ich es auch raus. Aber noch eine Frage, ist u(x) nicht [mm] 3(sin(x)^{2}? [/mm] Weil am Ende die 3 weggelassen wurde oder stimmt das so schon?

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Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 So 08.09.2013
Autor: M.Rex


> Oh, ich habe das nur mit der Kettenregel versucht. Jetzt
> habe ich es auch raus. Aber noch eine Frage, ist u(x) nicht
> [mm]3(sin(x)^{2}?[/mm] Weil am Ende die 3 weggelassen wurde oder
> stimmt das so schon?

Du hast:

$ [mm] f'(x)=3\cdot{}(\sin(x))^2\cdot{}\cos(x) [/mm] $

Setzt du [mm] u(x)=3\cdot(\sin(x))^{2} [/mm] und [mm] v(x)=\cos(x), [/mm] bekommst du

$ [mm] f'(x)=\underbrace{3\cdot{}(\sin(x))^2}_{u}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{v} [/mm] $

Nun die Produktregel, für die Teilableitung u'(x) musst du (als Nebenrechnung) noch die Ketteenregel nehmen.

Marius

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Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 So 08.09.2013
Autor: xxela89xx

Vielen lieben Dank!

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 So 08.09.2013
Autor: xxela89xx

Ach, die wurde ausgeklammert, habe ich jetzt gesehen. Vielen Dank an alle!

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