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| Aufgabe | | Bildung der ersten Ableitung von [mm] (\bruch{1}{6}*(1-\bruch{1}{n})*(2-\bruch{2}{n})) [/mm] |
Hallo,
Ich versuche mich nun schon geraume Zeit an dieser Problematik (eigentlich keine Aufgabe, sondern ein Hinweis im Mathebuch).
Als ergebnis soll [mm] \bruch{1}{6}*1*2 [/mm] herauskommen, aber ich kann das nicht nachvollziehen.
Meine Idee war die Ableitungen von [mm] (1-\bruch{1}{n}) [/mm] und [mm] (2-\bruch{2}{n})
[/mm]
zu bilden und dann mit der Produktregel zu arbeiten, wobei ich die [mm] \bruch{1}{6} [/mm] als Konstante beibehalten würde.
leider komme ich nicht auf das vorgegebene Ergebnis.
Bin für jede Hilfe dankbar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mo 07.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bildung der ersten Ableitung von
> [mm](\bruch{1}{6}*(1-\bruch{1}{n})*(2-\bruch{2}{n}))[/mm]
> Hallo,
> Ich versuche mich nun schon geraume Zeit an dieser
> Problematik (eigentlich keine Aufgabe, sondern ein Hinweis
> im Mathebuch).
> Als ergebnis soll [mm]\bruch{1}{6}*1*2[/mm] herauskommen, aber ich
> kann das nicht nachvollziehen.
Kein Wunder, das Ergebnis stimmt auch überhaupt nicht.
Beachte, dass [mm] f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1} [/mm] die Ableitung [mm] f'(x)=(-1)\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}} [/mm] hat.
>
>
> Meine Idee war die Ableitungen von [mm](1-\bruch{1}{n})[/mm] und
> [mm](2-\bruch{2}{n})[/mm]
> zu bilden und dann mit der Produktregel zu arbeiten, wobei
> ich die [mm]\bruch{1}{6}[/mm] als Konstante beibehalten würde.
Das ist auch korrekt, du müsstest folgende Ableitung bekommen
[mm] $f'(n)=\frac{1}{6}\cdot\left[\frac{1}{n^{2}}\cdot\left(2-\frac{2}{n}\right)+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{2}{n^{2}}\right] [/mm] $
Alternativ kannst du ja mal f(n) umformen, also
[mm] f(n)=\frac{1}{6}\cdot\left(1-\fac{1}{n}\right)\cdot\left(2-\frac{2}{n}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{6}\cdot\left(1-\fac{1}{n}\right)\cdot2\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}
[/mm]
Und das kannst du ja mal mit der Kettenregel ableiten.
Alternativ, weiter umformen
[mm] \frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{3}\cdot\left(1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)
[/mm]
[mm] \frac{1}{3}-\frac{2}{3}n^{-1}+\frac{1}{3}n^{-2}
[/mm]
Nun summandenweise Ableiten.
Alle drei Ergebniss sollten zur selben Ableitung führen.
> leider komme ich nicht auf das vorgegebene Ergebnis.
>
> Bin für jede Hilfe dankbar
>
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mo 07.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Windbeutel!
Ich habe hier den Verdacht, dass die Aufgabenstellung doch etwas anders lautet also oben formuliert.
Ich vermute eine gegebene Funktion, deren Ableitung gesucht ist.
Und zu dem gegebenen Term soll / muss nun der Grenzwert für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] bestimmt werden.
Denn damit stimmt es auch exakt mit der Musterlösung überein:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\bruch{1}{6}*\left(1-\bruch{1}{n}\right)*\left(2-\bruch{2}{n}\right)\right] \ = \ \bruch{1}{6}*\left[\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)\right]*\left[\limes_{n\rightarrow\infty}\left(2-\bruch{2}{n}\right)\right] \ = \ \bruch{1}{6}*(1-0)*(2-0) \ = \ \bruch{1}{6}*1*2 \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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