Ableitung = 0 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich entschuldige mich schonmal vorab für diese evtl. eher peinlich-simple Frage meinerseits.
Also wenn die Ableitung einer Funktion gleich Null für alle x ist, muss diese Funktion dann konstant sein?
Ich würde ja sagen: Nein, muss sie nicht, wäre f' - also die erste Ableitung - gleich Null für alle x, dann wäre f eine konstante Funktion. Aber falls es erst bei einer höheren Ableitung so ist, dann heißt das nicht, dass die Funktion konstant ist.
Richtig so?
Danke,
Anna
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Hallo!
Naja, deine Antwort geht etwas über die Frage hinaus.
Natürlich, wenn f'(x)=0 für alle x, dann ist f(x)=const.
Und wenn f''(x)=0, ist f'(x) konstant. Ist f'(x) nicht 0, so ist f(x) eine lineare Funktion, also nicht 0. Aber danach hast du ja gar nicht gefragt!
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> Also wenn die Ableitung einer Funktion gleich Null für
> alle x ist, muss diese Funktion dann konstant sein?
Hallo,
nein.
Betrachte
[mm] f(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\in (2,3) \\ 4, & \mbox{für } x\in (5,6) \end{cases}.
[/mm]
Über einem offenen Intervall stimmt die Aussage f'0=0 ==> f=const natürlich, Du kannst sie mit dem Satz von Rolle zeigen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 17.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Über einem offenen Intervall stimmt die Aussage f'0=0 ==>
> f=const natürlich, Du kannst sie mit dem Satz von Rolle
> zeigen.
So wie ich den Beweis kenne, wird mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (eine Folgerung aus dem Satz von Rolle) die Aussage zunächst für ABGESCHLOSSENE Intervalle $[a,b]$, [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] gezeigt. Dann folgt sie aber bereits für beliebige Intervalle.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Angela,
> > Also wenn die Ableitung einer Funktion gleich Null für
> > alle x ist, muss diese Funktion dann konstant sein?
>
> Hallo,
>
> nein.
>
> Betrachte
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\in (2,3) \\ 4, & \mbox{für } x\in (5,6) \end{cases}.[/mm]
>
> Über einem offenen Intervall stimmt die Aussage f'0=0 ==>
> f=const natürlich, Du kannst sie mit dem Satz von Rolle
> zeigen.
Hm, kannst Du mir das vielleicht noch mal erklären, was genau Du damit meinst, mit f'0=0 in einem offenen Intervall? Wie tobit ja schon sagte, wird beim Satz von Rolle und Mittelwertsatz ja gerade das geschlossene Intervall gefordert.
Und wenn ich dein obiges Beispiel mal übernehme, wenn ich eine Funktion habe
f(x) = [mm] \begin{cases} 2, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR. [/mm] Dann wär für alle x [mm] \in \IR [/mm] f'(x)=0 ABER f wäre auf dem offenen Intervall [mm] ]-\infty,\infty[ [/mm] dennoch keine konstante Funktion, lediglich auf den beiden Intervallen [mm] ]-\infty,0] [/mm] und [mm] ]0,\infty[. [/mm] Oder sehe ich das falsch?
Danke!
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 17.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Anna,
> Und wenn ich dein obiges Beispiel mal übernehme, wenn ich
> eine Funktion habe
> f(x) = [mm]\begin{cases} 2, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Dann wär für alle x [mm]\in \IR[/mm] f'(x)=0
> ABER f wäre auf dem offenen Intervall [mm]]-\infty,\infty[[/mm]
> dennoch keine konstante Funktion, lediglich auf den beiden
> Intervallen [mm]]-\infty,0][/mm] und [mm]]0,\infty[.[/mm]
Letzteres stimmt, aber $f'(x)=0$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] stimmt nicht, weil f an der Stelle x=0 gar nicht differenzierbar ist, also f'(0) gar nicht existiert! Das kann man damit begründen, dass f an der Stelle x=0 noch nicht mal stetig ist.
Tatsächlich gilt: Ist [mm] $D\subset\IR$ [/mm] ein BELIEBIGES Intervall und [mm] $f:D\to\IR$ [/mm] differenzierbar mit $f'(x)=0$ für alle [mm] $x\in [/mm] D$, so ist f schon konstant.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
> Hallo Anna,
>
> > Und wenn ich dein obiges Beispiel mal übernehme, wenn ich
> > eine Funktion habe
> > f(x) = [mm]\begin{cases} 2, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Dann wär für alle x [mm]\in \IR[/mm] f'(x)=0
> > ABER f wäre auf dem offenen Intervall [mm]]-\infty,\infty[[/mm]
> > dennoch keine konstante Funktion, lediglich auf den beiden
> > Intervallen [mm]]-\infty,0][/mm] und [mm]]0,\infty[.[/mm]
> Letzteres stimmt, aber [mm]f'(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] stimmt
> nicht, weil f an der Stelle x=0 gar nicht differenzierbar
> ist, also f'(0) gar nicht existiert! Das kann man damit
> begründen, dass f an der Stelle x=0 noch nicht mal stetig
> ist.
Ach stimmt, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht :-(
Aber das wäre doch beim Beispiel von Angela ebenso, also ist ihr Beispiel auch kein Gegenbeispiel für "wenn die Ableitung einer Funktion gleich Null für alle x ist, muss diese Funktion dann konstant sein?" ?
Danke!
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Tobias,
>
> > Hallo Anna,
> >
> > > Und wenn ich dein obiges Beispiel mal übernehme, wenn ich
> > > eine Funktion habe
> > > f(x) = [mm]\begin{cases} 2, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > für alle x [mm]\in \IR.[/mm] Dann wär für alle x [mm]\in \IR[/mm] f'(x)=0
> > > ABER f wäre auf dem offenen Intervall [mm]]-\infty,\infty[[/mm]
> > > dennoch keine konstante Funktion, lediglich auf den beiden
> > > Intervallen [mm]]-\infty,0][/mm] und [mm]]0,\infty[.[/mm]
> > Letzteres stimmt, aber [mm]f'(x)=0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] stimmt
> > nicht, weil f an der Stelle x=0 gar nicht differenzierbar
> > ist, also f'(0) gar nicht existiert! Das kann man damit
> > begründen, dass f an der Stelle x=0 noch nicht mal stetig
> > ist.
>
> Ach stimmt, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen
> nicht :-(
> Aber das wäre doch beim Beispiel von Angela ebenso, also
> ist ihr Beispiel auch kein Gegenbeispiel
Doch ! Sag mir einen Punkt [mm] x_0 [/mm] aus dem Def. - bereich der Funktion f, in dem f nicht differenzierbar ist. So einen findest Du nicht !
FRED
> für "wenn die
> Ableitung einer Funktion gleich Null für alle x ist, muss
> diese Funktion dann konstant sein?" ?
>
> Danke!
> Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
SATZ: Ist I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall und ist $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar auf I mit $f'(x) = 0$ in jedem x [mm] \in [/mm] I, so ist f auf I konstant.
Beweis: Seien a, b [mm] \in [/mm] I. Etwa a<b. Der Mittelwertsatz liefert ein [mm] \xi \in [/mm] (a,b) mit :
$f(b) -f(a) = [mm] f'(\xi)(b-a) [/mm] = 0(b-a)$
Somit: $f(b) =f(a)$. Da a, b [mm] \in [/mm] I beliebig waren, folgt die Beh. ////
So , nun schau Dir nochmal Angelas Beispiel an. Siehst Du warum dort obiger Beweis nicht funktioniert ?
FRED
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Hallo Fred,
> SATZ: Ist I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und ist [mm]f: I \to \IR[/mm]
> differenzierbar auf I mit [mm]f'(x) = 0[/mm] in jedem x [mm]\in[/mm] I, so
> ist f auf I konstant.
>
> Beweis: Seien a, b [mm]\in[/mm] I. Etwa a<b. Der Mittelwertsatz
> liefert ein [mm]\xi \in[/mm] (a,b) mit :
>
> [mm]f(b) -f(a) = f'(\xi)(b-a) = 0(b-a)[/mm]
>
> Somit: [mm]f(b) =f(a)[/mm]. Da a, b [mm]\in[/mm] I beliebig waren, folgt
> die Beh. ////
>
>
>
> So , nun schau Dir nochmal Angelas Beispiel an. Siehst Du
> warum dort obiger Beweis nicht funktioniert ?
Weil der Definitionsbereich der Funktion dort aus der Vereinigung von 2 Intervallen besteht?
Danke für Deine Hilfe!
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > SATZ: Ist I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und ist [mm]f: I \to \IR[/mm]
> > differenzierbar auf I mit [mm]f'(x) = 0[/mm] in jedem x [mm]\in[/mm] I, so
> > ist f auf I konstant.
> >
> > Beweis: Seien a, b [mm]\in[/mm] I. Etwa a<b. Der Mittelwertsatz
> > liefert ein [mm]\xi \in[/mm] (a,b) mit :
> >
> > [mm]f(b) -f(a) = f'(\xi)(b-a) = 0(b-a)[/mm]
> >
> > Somit: [mm]f(b) =f(a)[/mm]. Da a, b [mm]\in[/mm] I beliebig waren, folgt
> > die Beh. ////
> >
> >
> >
> > So , nun schau Dir nochmal Angelas Beispiel an. Siehst Du
> > warum dort obiger Beweis nicht funktioniert ?
>
> Weil der Definitionsbereich der Funktion dort aus der
> Vereinigung von 2 Intervallen besteht?
Ja. Das wichtige ist: die Intervalle sind disjunkt.
FRED
>
> Danke für Deine Hilfe!
> Anna
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Hallo Fred,
> > > SATZ: Ist I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und ist [mm]f: I \to \IR[/mm]
> > > differenzierbar auf I mit [mm]f'(x) = 0[/mm] in jedem x [mm]\in[/mm] I, so
> > > ist f auf I konstant.
> > >
> > > Beweis: Seien a, b [mm]\in[/mm] I. Etwa a<b. Der Mittelwertsatz
> > > liefert ein [mm]\xi \in[/mm] (a,b) mit :
> > >
> > > [mm]f(b) -f(a) = f'(\xi)(b-a) = 0(b-a)[/mm]
> > >
> > > Somit: [mm]f(b) =f(a)[/mm]. Da a, b [mm]\in[/mm] I beliebig waren, folgt
> > > die Beh. ////
> > >
> > >
> > >
> > > So , nun schau Dir nochmal Angelas Beispiel an. Siehst Du
> > > warum dort obiger Beweis nicht funktioniert ?
> >
> > Weil der Definitionsbereich der Funktion dort aus der
> > Vereinigung von 2 Intervallen besteht?
>
> Ja. Das wichtige ist: die Intervalle sind disjunkt.
Wären die Intervalle nicht disjunkt, dann wäre die Stetigkeit und somit die Differenzierbarkeit von jedem x auf dem Definitionsbereich nicht mehr gegeben, richtig?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > > > SATZ: Ist I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und ist [mm]f: I \to \IR[/mm]
> > > > differenzierbar auf I mit [mm]f'(x) = 0[/mm] in jedem x [mm]\in[/mm] I, so
> > > > ist f auf I konstant.
> > > >
> > > > Beweis: Seien a, b [mm]\in[/mm] I. Etwa a<b. Der Mittelwertsatz
> > > > liefert ein [mm]\xi \in[/mm] (a,b) mit :
> > > >
> > > > [mm]f(b) -f(a) = f'(\xi)(b-a) = 0(b-a)[/mm]
> > > >
> > > > Somit: [mm]f(b) =f(a)[/mm]. Da a, b [mm]\in[/mm] I beliebig waren, folgt
> > > > die Beh. ////
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > So , nun schau Dir nochmal Angelas Beispiel an. Siehst Du
> > > > warum dort obiger Beweis nicht funktioniert ?
> > >
> > > Weil der Definitionsbereich der Funktion dort aus der
> > > Vereinigung von 2 Intervallen besteht?
> >
> > Ja. Das wichtige ist: die Intervalle sind disjunkt.
>
> Wären die Intervalle nicht disjunkt, dann wäre die
> Stetigkeit und somit die Differenzierbarkeit von jedem x
> auf dem Definitionsbereich nicht mehr gegeben, richtig?
Nein, da verwechselst Du etwas . Nur was ?
FRED
>
> Danke,
> Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 17.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Um in Freds Beweis den Mittelwertsatz anwenden zu können, benötigen wir, dass f auf ganz (a,b) definiert (und differenzierbar) ist. Wenn a und b in verschiedenen disjunkten Intervallen, die den Definitionsbereich von f bilden, liegen, ist f i.A. nicht auf ganz (a,b) definiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mi 17.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Wären die Intervalle nicht disjunkt, dann wäre die
> Stetigkeit und somit die Differenzierbarkeit von jedem x
> auf dem Definitionsbereich nicht mehr gegeben, richtig?
Wären die beiden Intervalle nicht disjunkt, würde der Definitionsbereich wieder ein Intervall sein und Freds Argumentation wäre anwendbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo,
jetzt ist es klar bzgl. disjunkt. Die Bretter vor meinem Kopf sind gerade sehr ausgeprägt, sorry 
DANKE an Fred, Tobias, Angela und Event_Horizon.
Gruß,
Anna
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