Ableitung Arctan seltsamer Weg < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Fr 25.03.2016 | | Autor: | Paivren |
N'abend, ich stehe vor einer Herleitung einer Ableitung, die ich nicht verstehe, vielleicht könnt ihr mir helfen?
Gesucht ist die Ableitung der Funktion [mm] \Theta [/mm] (k) mit k als reeller Variable.
Ferner gilt die Gleichung [mm] tan(\Theta)=\bruch{\wurzel{b^{2}-k^{2}}}{k} [/mm] mit b als reeller Konstanten.
Nun muss ich im Grunde genommen nur die Ableitung des ArkusTangens von der rechten Seite bilden, was mir auch gelingt (mittels Formelsammlung Trigonometrie und Kettenregel).
Aber im Buch ist der Rechenweg etwas seltsam und ich würde gerne verstehen, wie es dort gemacht wird.
Es wird angesetzt:
[mm] (1+tan^{2}(\Theta))d\Theta=[1+\bruch{b^{2}-k^{2}}{k^{2}}]d\Theta
[/mm]
Soweit so gut. Aber woraus folgt die nächste Gleichheit?
[mm] =-\bruch{dk}{k^{2}}\wurzel{b^{2}-k^{2}}-\bruch{dk}{\wurzel{b^{2}-k^{2}}}
[/mm]
Daraus kann man schließlich die gesuchte Ableitung [mm] -\bruch{1}{\wurzel{b^{2}-k^{2}}} [/mm] finden (zu der ich ja auch per "direktem" Ableiten gekommen bin).
Gruß
Paivren
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Das ist nicht sehr glücklich aufgeschrieben. Eigentlich wird die Ausgangsgleichung differenziert:
[mm]\tan \vartheta = \frac{\sqrt{b^2 - k^2}}{k}[/mm]
Jetzt differenzieren (rechts [mm]\frac{1}{k} = k^{-1}[/mm] schreiben und die Produktregel verwenden):
[mm]\left( 1 + \tan^2 \vartheta \right) ~ \mathrm{d} \vartheta = \left( - \frac{\sqrt{b^2 - k^2}}{k^2} - \frac{1}{\sqrt{b^2 - k^2}} \right) ~ \mathrm{d} k[/mm]
Jetzt wird links für [mm]\tan \vartheta[/mm] der Term [mm]\frac{\sqrt{b^2 - k^2}}{k}[/mm] eingesetzt, wie du das bereits vorgeführt hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Sa 26.03.2016 | | Autor: | Paivren |
Hey, danke für die fixe Antwort!
Krass, dass du das gleich gesehen hast, jetzt versteh ich es.
Gruß
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