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Forum "Funktionen" - Ableitung Beweis
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Ableitung Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 So 14.01.2018
Autor: MRsense

Aufgabe
Guten Abend


habe folgende Aufgabe zu Beweisen:

seien a<b mit f:(a,b)-> [mm] \IR [/mm] eine diff'bare Funktion, wobei [mm] f':(a,b)->\IR [/mm] stetig ist.
Sei dann [mm] x_o\in\ [/mm] (a,b) und [mm] (s_n)_(n\in\IN), (t_n)_(n\in\IN) [/mm] Nullfolgen, mit [mm] n\in\IN [/mm] gilt:  [mm] s_n>t_n [/mm] und [mm] x_0 +s_n, x_0 +t_n \in\ [/mm] (a,b).


Nun muss ich beweisen:

lim (n-> gegen unendlich) [mm] \frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} =f'(x_0) [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableitung Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 So 14.01.2018
Autor: HJKweseleit


> Guten Abend
>  
>
> habe folgende Aufgabe zu Beweisen:
>  
> seien a<b mit f:(a,b)-> [mm]\IR[/mm] eine diff'bare Funktion, wobei
> [mm]f':(a,b)->\IR[/mm] stetig ist.
> Sei dann [mm]x_o\in\[/mm] (a,b) und [mm](s_n)_(n\in\IN), (t_n)_(n\in\IN)[/mm]
> Nullfolgen, mit [mm]n\in\IN[/mm] gilt:  [mm]s_n>t_n[/mm] und [mm]x_0 +s_n, x_0 +t_n \in\[/mm]
> (a,b).
>  
>
> Nun muss ich beweisen:
>  
> lim (n-> gegen unendlich) [mm]\frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} =f'(x_0)[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.



Mach so:

Sei t = [mm] t_m [/mm] für ein beliebiges, aber festes m.

Dann ist lim (n-> gegen unendlich) [mm]\frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} =[/mm] lim (n-> gegen unendlich) [mm]\frac{f(x_0+t+s_n-t)-f(x_0+t)}{s_n -t} =\red{f'(x_0+t)}[/mm].


Denkfehler!: Wenn [mm] s_n [/mm] nach 0 geht, geht es nicht nach t und damit der Nenner nicht gegen Null. Daher ist das Ergebnis auch nicht die angegebene Ableitung, sondern nur ein Näherungswert.

Und jetzt benutzt du die Stetigkeit von f' und überlegst, wie es damit weiter geht.

Bezug
                
Bezug
Ableitung Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Mo 15.01.2018
Autor: MRsense

Hier verstehe ich nicht ganz, wie man zu letzten Umformung kommt?

was bringt mir dass, ich komm nicht ganz mit :/

Bezug
                        
Bezug
Ableitung Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:34 Mo 15.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,


> Hier verstehe ich nicht ganz, wie man zu letzten Umformung
> kommt?

Damit man im vorderen Funktionsterm die Differenz [mm] s_n-t [/mm] bekommt.

> was bringt mir dass, ich komm nicht ganz mit :/

Wenn du jetzt noch etwa [mm] h=s_n-t [/mm] setzt, solltest du es sehen: da steht jetzt einfach der Grenzwert eines Differenzenquotienten, also per Definition die Ableitung [mm] f'(x_0+t). [/mm]

Und für die betrachtet man t jetzt wieder als Nullfolge [mm] t_n.
[/mm]

Edit: der ganze Ansatz von HJKweseleit ist falsch und daher auch meine Antwort (da mir der gleiche Denkfehler unterlaufen ist).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Ableitung Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:14 Mo 15.01.2018
Autor: fred97


> > Guten Abend
>  >  
> >
> > habe folgende Aufgabe zu Beweisen:
>  >  
> > seien a<b mit f:(a,b)-> [mm]\IR[/mm] eine diff'bare Funktion, wobei
> > [mm]f':(a,b)->\IR[/mm] stetig ist.
> > Sei dann [mm]x_o\in\[/mm] (a,b) und [mm](s_n)_(n\in\IN), (t_n)_(n\in\IN)[/mm]
> > Nullfolgen, mit [mm]n\in\IN[/mm] gilt:  [mm]s_n>t_n[/mm] und [mm]x_0 +s_n, x_0 +t_n \in\[/mm]
> > (a,b).
>  >  
> >
> > Nun muss ich beweisen:
>  >  
> > lim (n-> gegen unendlich) [mm]\frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} =f'(x_0)[/mm]
>  
> >  

> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> Mach so:
>  
> Sei t = [mm]t_m[/mm] für ein beliebiges, aber festes m.
>  
> Dann ist lim (n-> gegen unendlich)
> [mm]\frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} =[/mm] lim (n-> gegen
> unendlich) [mm]\frac{f(x_0+t+s_n-t)-f(x_0+t)}{s_n -t} =f'(x_0+t)[/mm].


Das kann ja wohl nicht stimmen. Wäre es richtig . so hätten wir

[mm] \frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} \to f'(x_0+t) [/mm] und nicht

[mm] \frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} \to f'(x_0). [/mm]


>  
> Und jetzt benutzt du die Stetigkeit von f' und überlegst,
> wie es damit weiter geht.


Bezug
                        
Bezug
Ableitung Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Mo 15.01.2018
Autor: HJKweseleit


> Das kann ja wohl nicht stimmen. Wäre es richtig . so
> hätten wir
>
> [mm]\frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} \to f'(x_0+t)[/mm] und
> nicht
>  
> [mm]\frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} \to f'(x_0).[/mm]



Hallo Fred,
dein Einwand ist berechtigt, aber aus einem anderen Grund.
Bei deinem Mittelwert-Beweis hast du ja auch zunächst [mm] f'(\epsilon) [/mm] und lässt dann [mm] \epsilon [/mm] nach [mm] x_0 [/mm] gehen, und so sollte nun im nächsten Schrittt wieder als [mm] t_m [/mm] angesehen und nach 0 gehen.

Aber: Weil [mm] t_m=t [/mm] "zwischenzeitlich stehen bleibt" und die [mm] s_n [/mm] weiter nach 0 gehen, geht der Nenner gar nicht gegen 0, sondern gegen [mm] t=t_m \ne [/mm] 0, und damit erhält man gar nicht die Ableitung [mm] f'(x_0+t), [/mm] sondern nur einen Näherungswert.

Meine Idee war also ein geistiger Kurzschluss. Offenbar geht es nur mit dem Mittelwertsatz.

Bezug
                                
Bezug
Ableitung Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Mo 15.01.2018
Autor: Diophant

Es wäre gut, das in der obigen Antwort auch noch richtigzustellen.

Bezug
        
Bezug
Ableitung Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 So 14.01.2018
Autor: fred97


> Guten Abend
>  
>
> habe folgende Aufgabe zu Beweisen:
>  
> seien a<b mit f:(a,b)-> [mm]\IR[/mm] eine diff'bare Funktion, wobei
> [mm]f':(a,b)->\IR[/mm] stetig ist.
> Sei dann [mm]x_o\in\[/mm] (a,b) und [mm](s_n)_(n\in\IN), (t_n)_(n\in\IN)[/mm]
> Nullfolgen, mit [mm]n\in\IN[/mm] gilt:  [mm]s_n>t_n[/mm] und [mm]x_0 +s_n, x_0 +t_n \in\[/mm]
> (a,b).
>  
>
> Nun muss ich beweisen:
>  
> lim (n-> gegen unendlich) [mm]\frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} =f'(x_0)[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Tipp: Mittelwertsatz




Bezug
                
Bezug
Ableitung Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:55 Mo 15.01.2018
Autor: MRsense

Es exestiert ein [mm] x_0 \in\ (x_0+s_n,x_0+t_n) [/mm] sodass gilt:

[mm] f'(x_0)=lim(->unendlich) \bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] wie mache ich weiter?

Bezug
                        
Bezug
Ableitung Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:09 Mo 15.01.2018
Autor: fred97


> Es exestiert ein [mm]x_0 \in\ (x_0+s_n,x_0+t_n)[/mm] sodass gilt:
>
> [mm]f'(x_0)=lim(->unendlich) \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]


Nein.

>  wie mache
> ich weiter?

Zu n [mm] \in \IN [/mm] ex. ein [mm] u_n \in (x_0+t_n,x_0+s_n) [/mm] mit

$ [mm] \frac{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n -t_n} =f'(u_n) [/mm] $

Nun bringe ein: [mm] u_n \to x_0 [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] (warum ?) und [mm] f'(u_n) \to f'(x_0) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] (warum ?).






Bezug
                                
Bezug
Ableitung Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:52 Mo 15.01.2018
Autor: MRsense

Ja weil f' stetig ist, denke ich

Bezug
                                
Bezug
Ableitung Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Mo 15.01.2018
Autor: MRsense

Also:

sei c<d unf [mm] f:(c,d)->\in\IR [/mm] diffbar und [mm] f':(c,d)->\in\IR [/mm] stetig.
sei [mm] x_0\in\ [/mm] (c,d) und [mm] s_n, t_n->0 [/mm] mit [mm] s_n>t_n [/mm]
und [mm] x_0+s_n, x_0+t_n\in\ [/mm] (a,b)

Betrachte das Intervall [mm] I_n:= (x_0+s_n,x_0+t_n)\subset [/mm] (c,d) [mm] \vorall n\in\IN [/mm]
Da f diffbar in (c,d) ist, gilt nach dem MWS, dass in jedem [mm] I_n [/mm] ein [mm] \varepsilon_n [/mm] gibt, [mm] \varepsilon_n\in\I_n, [/mm] sodass

[mm] f'(\varepsilon_n)=\bruch{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n-t_n} [/mm]

Da [mm] s_n, t_n [/mm] ->0, so gilt [mm] \varepsilon_n ->x_0. [/mm] Da f' stetig ist folgt
lim(n->unendlich) [mm] \bruch{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n-t_n}=f'(\varepsilon_n)=f'(x_0) [/mm]




Bezug
                                        
Bezug
Ableitung Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mo 15.01.2018
Autor: fred97


> Also:
>  
> sei c<d unf [mm]f:(c,d)->\in\IR[/mm] diffbar und [mm]f':(c,d)->\in\IR[/mm]
> stetig.
>  sei [mm]x_0\in\[/mm] (c,d) und [mm]s_n, t_n->0[/mm] mit [mm]s_n>t_n[/mm]
>  und [mm]x_0+s_n, x_0+t_n\in\[/mm] (a,b)
>  
> Betrachte das Intervall [mm]I_n:= (x_0+s_n,x_0+t_n)\subset[/mm]
> (c,d) [mm]\vorall n\in\IN[/mm]
>  Da f diffbar in (c,d) ist, gilt nach
> dem MWS, dass in jedem [mm]I_n[/mm] ein [mm]\varepsilon_n[/mm] gibt,
> [mm]\varepsilon_n\in\I_n,[/mm] sodass
>  
> [mm]f'(\varepsilon_n)=\bruch{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n-t_n}[/mm]
>  
> Da [mm]s_n, t_n[/mm] ->0, so gilt [mm]\varepsilon_n ->x_0.[/mm] Da f' stetig
> ist folgt
>  lim(n->unendlich)
> [mm]\bruch{f(x_0+s_n)-f(x_0+t_n)}{s_n-t_n}=f'(\varepsilon_n)=f'(x_0)[/mm]
>
>
>  

Alles richtig



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