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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung & Integral
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Ableitung & Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Aufgabe
Bestimmen Sie die ersten Ableitungen der Funktion f.
b) f(x)= 0,5*3^2x
c) f(x)= 2^-x
d) f(x)= [mm] x*2^x [/mm]
e) f(x)= [mm] 2^{1-2x} [/mm]
f) f(x)= [mm] (1+2^x)^2 [/mm]
g) f(x)= [mm] x^2*1,2^x [/mm]
h) f(x)= [mm] 2^{x}^{3} [/mm]

Hallo,
ich bin mir bei meinen Lösungen nicht sicher. Die 2. Ableitung bekomme ich nie hin...
[Bei h) in der Aufgabe und bei der Lösung heißt es: 2 hoch x hoch 3]

Das sind meine Lösungen:

b) f'(x)= 0,5*ln3*3^2x
c) f'(x)= ln2*2^-x
d) f'(x)= [mm] x*ln2*2^x [/mm]
e) f'(x)= ln2* [mm] 2^{1-2x} [/mm]
f) f'(x)= ln2*2^2x + [mm] ln4*4^x [/mm]
g) f'(x)= [mm] x^2 [/mm] * [mm] ln1,2*1,2^x [/mm] + [mm] 2x*1,2^x [/mm]
h) f'(x)= [mm] ln2*2^x^3 *3x^2 [/mm]

Vielen Dank schon einmal für die Hilfe!:)

        
Bezug
Ableitung & Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mo 20.01.2014
Autor: Sax

Hi,

> Bestimmen Sie die ersten Ableitungen der Funktion f.
>  b) f(x)= 0,5*3^2x
>  c) f(x)= 2^-x
>  d) f(x)= [mm]x*2^x[/mm]
>  e) f(x)= [mm]2^{1-2x}[/mm]
>  f) f(x)= [mm](1+2^x)^2[/mm]
>  g) f(x)= [mm]x^2*1,2^x[/mm]
>  h) f(x)= [mm]2^{x}^{3}[/mm]
>  Hallo,
>  ich bin mir bei meinen Lösungen nicht sicher. Die 2.
> Ableitung bekomme ich nie hin...
>  [Bei h) in der Aufgabe und bei der Lösung heißt es: 2
> hoch x hoch 3]
>  
> Das sind meine Lösungen:
>  
> b) f'(x)= 0,5*ln3*3^2x
>  c) f'(x)= ln2*2^-x
>  d) f'(x)= [mm]x*ln2*2^x[/mm]
>  e) f'(x)= ln2* [mm]2^{1-2x}[/mm]
>  f) f'(x)= ln2*2^2x + [mm]ln4*4^x[/mm]
>  g) f'(x)= [mm]x^2[/mm] * [mm]ln1,2*1,2^x[/mm] + [mm]2x*1,2^x[/mm]
>  h) f'(x)= [mm]ln2*2^x^3 *3x^2[/mm]
>  
> Vielen Dank schon einmal für die Hilfe!:)

Du hast bei allen Lösung(sversuch)en die Ableitungsregel
$ f(x) = [mm] a^x \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] (a^x)' [/mm] = ln a * [mm] a^x [/mm] $
angewandt, aber bei b., c. und e. übersehen, dass hier noch eine innere Funktion g im Spiel ist, so dass du also die Kettenregel
$ f(g(x)) = [mm] a^{g(x)} \Rightarrow [/mm] (f(g(x))' = [mm] (a^{g(x)})' [/mm] = ln{}a * [mm] a^{g(x)}*g'(x) [/mm] $
anwenden musst, genauso wie bei h.

In d. ist die Produktregel anzuwenden, genauso wie bei g.
Bei f. hast du die Binomische Formel vermurkst.
g. und h. sind richtig.

Gruß Sax.


Bezug
                
Bezug
Ableitung & Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Das heißt, ich muss z.B. bei b) 3^2x erst einmal mit der Kettenregel ableiten und dann 0,5 als Vorfaktor stehen lassen?

Bezug
                        
Bezug
Ableitung & Integral: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Mo 20.01.2014
Autor: Loddar

Hallo leasarfati!


> Das heißt, ich muss z.B. bei b) 3^2x erst einmal mit der
> Kettenregel ableiten und dann 0,5 als Vorfaktor stehen
> lassen?

[daumenhoch] Genau!


Gruß
Loddar

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Bezug
Ableitung & Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Okay, dann müsste bei b) rauskommen: [mm] 0,5*ln3*3^{2x}*2 [/mm]

oder?

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung & Integral: zusammenfassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Mo 20.01.2014
Autor: Loddar

Hallo leasarfati!


> Okay, dann müsste bei b) rauskommen: [mm]0,5*ln3*3^{2x}*2[/mm]

Als Zwischenergebnis [ok] .
Bitte noch zusammenfassen.


Gruß
Loddar

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Bezug
Ableitung & Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Bei c) habe ich: [mm] ln2*2^{-x}*(-1) [/mm]
Bei e) habe ich: [mm] ln2*2^{1-2x}*(-2) [/mm]

Zu f) Wenn man [mm] (1+2^x)^2 [/mm] ausmultipliziert, dann müsste doch rauskommen: [mm] 1^2+2^{2x}+4^{x} [/mm] oder?

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung & Integral: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mo 20.01.2014
Autor: Loddar

Hallo leasarfati!


> Bei c) habe ich: [mm]ln2*2^{-x}*(-1)[/mm]

[ok]


> Bei e) habe ich: [mm]ln2*2^{1-2x}*(-2)[/mm]

[ok] Aber noch zusammenfassen!


> Zu f) Wenn man [mm](1+2^x)^2[/mm] ausmultipliziert, dann müsste
> doch rauskommen: [mm]1^2+2^{2x}+4^{x}[/mm] oder?

[notok] Beachte die MBPotenzgesetze.


Gruß
Loddar

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Bezug
Ableitung & Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Heißt das, dass ich bei f) so ausmultiplizieren muss?: [mm] 1+2^{2x}?? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung & Integral: warum ausmultiplizieren?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Mo 20.01.2014
Autor: Loddar

Hallo leasarfati!


> Heißt das, dass ich bei f) so ausmultiplizieren muss?:
> [mm]1+2^{2x}??[/mm]

[notok] Nein, das heißt (wie ich schon schrieb), dass Du die MBPotenzgesetze sowie auch die binomischen Formeln beachten sollst.

[mm] $\left(1+2^x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 1^2+2*1*2^x+\left(2^x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 1+2*2^x+2^{2x} [/mm] \ = \ [mm] 1+2^{x+1}+2^{2x}$ [/mm]



Aber warum multiplizierst Du überhaupt aus? Die Ableitung ergibt sich durch die MBKettenregel.


Gruß
Loddar
 

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung & Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mo 20.01.2014
Autor: leasarfati

Stimmt. Mit der Kettenregel kommt dann raus: [mm] 2*(1+2^{x})*ln2*2^{x} [/mm] oder?

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung & Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mo 20.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Stimmt. Mit der Kettenregel kommt dann raus:
> [mm]2*(1+2^{x})*ln2*2^{x}[/mm] oder?

Ja. [ok]

Wobei anzuraten ist, den Term 2*ln(2) noch per Logarithmengesetz zusammenzufassen.

Gruß, Diophant

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