Ableitung Kosinus < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] $\cos' [/mm] = [mm] -\sin$ [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe wundere ich mich, warum keine Parameter auftauchen. Ich soll hier anscheinend beweisen, dass die Ableitung der Kosinusfunktion die Negation der Sinusfunktion ist. Denke mal, der Differenzenquotient bietet sich für den Beweis an. Bevor ich mich "in die Fluten" stürze, wäre es sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob das eine gute Idee ist bzw. falls ja, wie ich da sinnvoll ansetzen kann, denn dieser Beweis scheint ziemlich langwierig und komplex zu sein.
Irgendwie merkwürdig, warum auf einem Klausurvorbereitungsblatt eine Beweisaufgabe derartigen Kalibers vorkommt.
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
Wieso soll der langwierig sein?
Berechne doch einfach [mm]\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}[/mm] du brauchst ein paar Umformungen und [mm]\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h/2)}{h/2}=1[/mm]
oder machst es clever und verwendest [mm]e^{ix}=\cos x +i \sin x[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\cos' = -\sin[/mm]
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe wundere ich mich, warum keine Parameter
> auftauchen. Ich soll hier anscheinend beweisen, dass die
wundert mich auch. Wonach soll man da ableiten?
> Ableitung der Kosinusfunktion die Negation der
> Sinusfunktion ist. Denke mal, der Differenzenquotient
Den Grenzwert vom Differenzenquotient 
> bietet sich für den Beweis an. Bevor ich mich "in die
> Fluten" stürze, wäre es sehr nett, wenn mir jemand sagen
> könnte, ob das eine gute Idee ist bzw. falls ja, wie ich
> da sinnvoll ansetzen kann, denn dieser Beweis scheint
> ziemlich langwierig und komplex zu sein.
Wie gesagt er ist es nicht wirklich.
>
> Irgendwie merkwürdig, warum auf einem
> Klausurvorbereitungsblatt eine Beweisaufgabe derartigen
> Kalibers vorkommt.
Ich denke mal das das Betrachten von [mm] $e^{ix}$ [/mm] und dessen Ableitung nicht schwierig ist.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
$ [mm] \cos' [/mm] = [mm] -\sin [/mm] $ |
Hallo wieschoo,
> Berechne doch einfach [mm]\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}[/mm]
hier verstehe ich zwei Sachen nicht:
- wie kommt die obige Belegung zustande?
- warum x+h bzw. welche Rolle spielt das h ?
> du brauchst ein paar Umformungen und [mm]\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h/2)}{h/2}=1[/mm]
Wozu dient der Bruch?
Danke Dir!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 So 30.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Schreiber hat sich vertan, statt sin setz cos in den GW ein also
$ [mm] \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} [/mm] $
Aber wie wurde denn sin und cos definiert, darauf kommt es beim Beweis an!
man kann sin und cos durch eine Dgl f''=-f oder durch ne Reihe, oder als Projektion des kreisradius, bei bekannten bogenmass usw. definieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 30.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
Es war recht spät. Da habe ich mich wirklich verschrieben.
Die Ableitung des Kosinus kann man natürlich auch mit der Definition der Ableitung "berechnen".
Meine Idee war lediglich:
[mm]e^{ix}=\cos(x)+i*\sin(x)[/mm]
[mm](e^{ix})'=i*e^{ix}=-\sin(x)+i*\cos(x)[/mm]
Gelegentlich wird der Kosinus auch so definiert:
[mm]\cos(x):= \mathfrak{Re}(e^{ix})[/mm]
|
|
|
| |
|
Es ist [mm] cos(\alpha)=sin(90°-\alpha) [/mm] (ggf. mit Additionstheoremen nachzurechnen) bzw.
[mm] cos(x)=sin(\pi/2-x) [/mm] (Bogenmaß) und damit dann auch
[mm] cos(\pi-x)=sin(\pi/2-(\pi-x))= [/mm] sin(x)
Nun Kettenregel:
[mm] (cos(x))'=(sin(\pi/2-x))'= cos(\pi/2-x)*(innere [/mm] Ableitung)
= - [mm] cos(\pi-x) [/mm] = - sin(x)
|
|
|
| |
|
> Es ist$\ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ sin(90$°$\ [mm] -\alpha)$ [/mm] (ggf. mit
> Additionstheoremen nachzurechnen) bzw.
>
> [mm]cos(x)=sin(\pi/2-x)[/mm] (Bogenmaß) und damit dann auch
> [mm]cos(\red{\pi}-x)=sin(\pi/2-(\red{\pi}-x))=[/mm] sin(x) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Nun Kettenregel:
> [mm](cos(x))'=(sin(\pi/2-x))'= cos(\pi/2-x)* (innere\ Ableitung)[/mm]
> = - [mm]cos(\red{\pi}-x)[/mm] = - sin(x)
da ist wohl ein Nenner 2 verloren gegangen ...
Hallo HJK,
du setzt voraus, dass die Ableitung von sin schon bekannt ist.
Ob die Aufgabe so gedacht war, dass man sich darauf stützen
darf, ist nicht klar.
LG Al
|
|
|
| |
|
Ja, danke für den Hinweis, habe wohl beim Kopieren nicht aufgepasst. Jedes rote [mm] \pi [/mm] muss durch [mm] \pi/2 [/mm] ersetzt werden.
Klar, dass man die Ableitung von sin braucht, habe ich mal vorausgesetzt, ebenso die Kettenregel. Meistens macht man sin vor cos. Zumindest wird durch meine Berechnung klar, dass man nicht beide trigon. Fkt. getrennt mit Diff.-Quot. berechnen muss, sondern sich auf eine beschränken kann. Damit kriegt man dann auch noch tan und die Umkehfunktionen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:19 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\cos' = -\sin[/mm]
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe wundere ich mich, warum keine Parameter
> auftauchen. Ich soll hier anscheinend beweisen, dass die
> Ableitung der Kosinusfunktion die Negation der
> Sinusfunktion ist. Denke mal, der Differenzenquotient
> bietet sich für den Beweis an. Bevor ich mich "in die
> Fluten" stürze, wäre es sehr nett, wenn mir jemand sagen
> könnte, ob das eine gute Idee ist bzw. falls ja, wie ich
> da sinnvoll ansetzen kann, denn dieser Beweis scheint
> ziemlich langwierig und komplex zu sein.
>
> Irgendwie merkwürdig, warum auf einem
> Klausurvorbereitungsblatt eine Beweisaufgabe derartigen
> Kalibers vorkommt.
Hallo Grieche,
eine Alternative:
Es ist
(*) cos(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{x^{2n}}{(2n)!}.
[/mm]
Falls Ihr hattet, dass man eine Potenzreihe , wie in (*) hinterm [mm] \sum [/mm] - Zeichen differenzieren darf (dass man also Differentiation und Summation vertauschen darf), so mach das mal. Dann siehst Du: aus dem Kaliber wird ein Kaliberchen.
Gruß FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 So 06.02.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred,
danke für den alternativen Weg. Ich habe aber doch den ersten Weg eingeschlagen, weil der mir vertrauter war und der auch im Skript bei ähnlichen Beweisen verwendet wurde.
Gruß
el_grecco
|
|
|
|
