Ableitung Matrizenfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f Abbildung von [mm] M(n,\IR)\to M(n,\IR) [/mm] durch [mm] f(M)\mapsto M^{2}
[/mm]
Was ist die Ableitung von f? |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
wenn ich [mm] M=(m_{ij}) [/mm] setzt und f als [mm] (f_{ij}) [/mm] interpretiere,
ist [mm] f_{ij}=\summe_{\nu=1}^{n}m_{i\nu}m_{\nu j}
[/mm]
Die Jacobimatrix wäre ja dann [mm] (\partial_{kl}\summe_{\nu=1}^{n}m_{i\nu}m_{\nu j}) [/mm] für k,l,i,j = 1..n
also [mm] n^{2} [/mm] x [mm] n^{2}, [/mm] was ja auch stimmt.
Das sieht aber irgendwie noch nicht richtig und/oder nicht fertig aus... was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Mi 27.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Was du machst ist natürlich erstmal nicht falsch, du führst in [mm] $M(n,\IR)$ [/mm] Basen ein und betrachtest dann die Koordinatenfunktion. Wesentlich eleganter ist aber der koordinatenunabhängige Ansatz: [mm] $$f(M+H)=f(M)+2MH+H^2$$ [/mm] Daraus folgt doch, dass die Ableitung konstant ist, und in jedem Punkt gegeben ist durch die Lineare Abbildung [mm] $M(n,\IR)\ni H\mapsto 2M\cdot H\in M(n,\IR))$, [/mm] denn der Term [mm] H^2 [/mm] ist in [mm] $o(\|H\|)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit Roberts Antwort bin ich nicht einverstanden.
$ [mm] f(M+H)=f(M)+2MH+H^2 [/mm] $ ist im allg. falsch, da die Matrizenmult. nicht kommutativ ist.
Richtig ist:
$ [mm] f(M+H)=f(M)+MH+HM+H^2 [/mm] $
Daher ist die Ableitung im Punkt M gegeben durch die lineare Abbildung
$ [mm] H\mapsto M\cdot [/mm] H+ [mm] H\cdot [/mm] M $
FRED
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Hallo und danke für die Antworten,
Freds Einwand scheint mir berechtigt, nur wie kommt ihr überhaupt auf den koordinatenunabhängigen Ansatz für die Ableitung, wie soll ich f(M + H) interpretieren?
gruß Kevin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja, so ist totale Differenzierbarkeit doch definiert: Ist [mm] $U\subset\IR^n$ [/mm] offen, so heißt [mm] $f:U\to\IR^m$ [/mm] in [mm] $x_0\in [/mm] U$ (total) differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung [mm] $A:\IR^n\to\IR^m$ [/mm] gibt sodass [mm] $f(x_0+h)=f(x)+Ah+Rf(x_0,h)$ [/mm] mit [mm] $Rf(x_0,h)\in [/mm] o(|h|)$ für [mm] $h\to [/mm] 0$, was bedeutet dass [mm] $\lim_{h\to 0}\frac{Rf(x_0,h)}{\|h\|}=0$ [/mm] ist. Diese lineare Abbildung heißt dann die Ableitung von f an der Stelle [mm] x_0, [/mm] geschrieben: [mm] Df(x_0) [/mm] oder [mm] $\partial f(x_0)$ [/mm] oder [mm] $df_{x_0}$.
[/mm]
Wie habt ihr totale Differenzierbarkeit definiert?
Gruß, Robert
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Eine Abbildung $ [mm] A:D\to\IR^m [/mm] $ heißt in a [mm] \in [/mm] D [mm] \subset \IR^{n} [/mm] total differenzierbar, wenn es eine Matrix [mm] $A_{mxn}$ [/mm] gibt mit:
$ f(x) = f(a) + A(x-a) + r(x) $ mit [mm] \bruch{r(x)}{\parallel x-a \parallel}\to [/mm] 0 für $ x [mm] \to [/mm] a$
Die Funktion ist stetig partiell differenzierbar, also auch total differenzierbar, aber so ganz blicke ich noch nicht durch.
Bei meiner Aufgabe wären ja x, a bzw. h aus [mm] \IR^{n^{2}}. [/mm] kann ich mir Dein h als eine Art Richtungsvektor vorstellen? Dann bekomme ich aber doch nur eine Richtungsableitung, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Eine Abbildung [mm]A:D\to\IR^m[/mm] heißt in a [mm]\in[/mm] D [mm]\subset \IR^{n}[/mm]
> total differenzierbar, wenn es eine Matrix [mm]A_{mxn}[/mm] gibt
> mit: [mm]f(x) = f(a) + A(x-a) + r(x)[/mm] mit [mm]\bruch{r(x)}{\parallel x-a \parallel}\to 0[/mm] für [mm]x \to a[/mm]
Ihr habt das also nur in Koordinaten, d.h. wenn in [mm] $\IR^n$ [/mm] und [mm] $\IR^m$ [/mm] bereits eine Basis gewählt wurde, definiert. Formulieren wir das doch mal ein bischen um: Setze $h:=x-a$ und $Rf(a,h):=r(a+h)$, dann steht da $$f(a+h)=f(a)+Ah+Rf(a,h)$ mit [mm] $\lim_{h\to 0}\frac{Rf(a,h)}{\|h\|}=0$$ [/mm] letzteres schreibt man mit den "Landau-Symbolen" auch kürzer: [mm] $Rf(a,h)\in o(\|h\|)$ [/mm] für [mm] $h\to0$.
[/mm]
Jetzt kann man aber auch noch die Sache mit der Matrix vergessen, und nur verlangen dass A eine lineare Abbildung von [mm] $\IR^n\to\IR^m$ [/mm] sein soll und schon hat man die koordinatenunabhängige Definition, die ich weiter oben erwähnt habe. Der Punkt ist, totale Differenzierbarkeit ist unabhängig von der Wahl von Basen, d.h. ist f in a bezüglich irgendeiner Basis nach deiner Definition differenzierbar, dann bezüglich jeder Basis. Deshalb sind Basen "unnötigger Ballast". Der Kern ist die lineare Abbildung und "totale Differenzierbarkeit im Punkt a" bedeutet nix weiter als "f lässt sich im Punkt a gut durch eine affine Abbildung approximieren". Die Affine Abbildung ist eben genau f(a)+Ah.
Naja ich schätze das verwirrt dich alles noch ziemlich, aber das wird schon.
> Die Funktion ist stetig partiell differenzierbar, also auch
> total differenzierbar, aber so ganz blicke ich noch nicht
> durch.
Das ist richtig.
> Bei meiner Aufgabe wären ja x, a bzw. h aus [mm]\IR^{n^{2}}.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> kann ich mir Dein h als eine Art Richtungsvektor
> vorstellen? Dann bekomme ich aber doch nur eine
> Richtungsableitung, oder?
H und A sind Elemente im Vektorraum der Matrizen. Das mit der Richtungsableitung ist Unsinn. die Richtungsableitung in Richtung von H wäre $$\right\frac{d}{dt}f(A+tH)\left\big|_{t=0}}$$
Gruß, Robert
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