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Ableitung (Produkt-/Kettenregel): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Do 11.12.2003
Autor: DerHochpunkt

Ich habe hier (bis morgen) eine aufgabe und bin nicht sicher wie sie zu lösen ist:

f(x) = (3 + 4x)²*WURZEL(x)

Kann man jetzt den ersten Faktor (3 + 4x)² mittel Produktregel ableiten (wäre aber ein großer Aufwand), oder lassen sich beide Faktoren mittels Verkettung ableiten. Bitte macht das etwas anschaulich, da ich die Verkettung noch nicht ganz verstanden habe...

Vielen Dank vorab, Der.HochPunkt

        
Bezug
Ableitung (Produkt-/Kettenregel): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Do 11.12.2003
Autor: Eva

Hallo!!

Da ich jetzt leider weg muss, habe ich keine Zeit Dir ausführlich auf Deine Frage zu antworten, aber zum Theme Kettenregel schau Dir mal die beiden nachfolgenden Links an. Vielleicht helfen sie Dir weiter.

Kettenregel I
Kettenregel II

Ansonsten würde ich mich heute Abend bzw. spätestens morgen früh mit einer Antwort melden!

Viele Grüße
Eva

Bezug
        
Bezug
Ableitung (Produkt-/Kettenregel): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Do 11.12.2003
Autor: Marc

Hallo DerHochpunkt,

hier gibt es tatsächlich mehrere Möglichkeiten, ich stelle sie mal der Reihe nach vor (die geschickteren Möglichkeiten zuerst):

[mm]f(x)=(3+4x)^2 * \sqrt{x} [/mm]

1. Möglichkeit:
Produktregel anwenden, dann für den ersten Faktor die Kettenregel:
[mm]f[/mm] ist das Produkt der Funktionen [mm]f_1(x)=(3+4x)^2[/mm] und [mm]f_2(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}[/mm].
[mm]f_2'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/mm] (das dürfte klar sein).
[mm]f_1[/mm] ist nun eine Verkettung von der inneren Funktion [mm]u(x)=3+4x[/mm] und der äußeren Funktion [mm]v(x)=x^2[/mm].
Die Ableitung lautet nach der Kettenregel:
[mm]g'(x)=u'(x)*v'(u(x))=4*\underbrace{2*(\underbrace{3+4x}_{=u(x)})}_{=v'(u(x))}=24+32x[/mm]

Jetzt noch alles zusammenfügen:
[mm]f'(x)=(f_1(x)*f_2(x))'=f_1'(x)*f_2(x)+f_1(x)*f_2'(x)[/mm]
=[mm](24+32x)*\sqrt{x}+(3+4x)^2*\frac{1}{2\sqrt{x}}[/mm]

Wenn man Spaß dran hätte, könnte man den Term noch weiter vereinfachen.

2. Möglichkeit:
Wieder Produktregel anwenden, den ersten Faktor aber vorher ausmultiplizieren:
[mm]f(x)=(3+4x)^2 * \sqrt{x}=(9+24x+16x^2)*\sqrt{x} [/mm]
Jetzt die Produktregel anwenden.

3. Möglichkeit:
Den ersten Faktor als Produkt zweier Faktoren schreiben, und die Produktregel für die drei Faktoren anwenden:
[mm]f(x)=(3+4x)^2 * \sqrt{x}=((3+4x)*(3+4x))*\sqrt{x} [/mm]

4. Möglichkeit:
Alles ausmultiplizieren, aber diese Möglichkeit ist so ungünstig, dass ich es gar nicht erst vormache.

Ich hoffe, das hat dir etwas weiter geholfen...

Viel Erfolg für die Klausur,
Marc.


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