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Forum "Differentiation" - Ableitung Umkehrfkt.
Ableitung Umkehrfkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung Umkehrfkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Do 08.12.2011
Autor: Valerie20

Aufgabe
Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion:

[mm]h_1 : ]-1,1[ \to ]0,\pi[ , h_1(x)=arccos(x)[/mm]




Hallo!

[mm](f(x)^{-1})'=\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm] ist die allgemeine Regel.

[mm](f(x)^{-1})'=\bruch{1}{-sin(arcos(x))}[/mm]

Jetzt wird ausgenutzt: [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm]

[mm] sin^2(x)=1-cos^2(x) [/mm]

So, nun zu meiner Frage:

Das Ergebnis der Umkehrfunktion lautet: [mm](f(x)^{-1})'=-\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]

Um darauf zu kommen wird also:

[mm]sin^2(x)=1-cos^2(x)[/mm]

so umgeformt:

[mm]sin(x)=\wurzel{1-cos^2(x)}[/mm]


Warum wird hier nur der positive Teil der Wurzel verwendet?
Müsste die Ableitung der Umkehrfunktion nicht eigentlich so aussehen:

[mm](f(x)^{-1})'=-\bruch{1}{\red{\pm}\wurzel{1-x^2}}[/mm]


Valerie




        
Bezug
Ableitung Umkehrfkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Do 08.12.2011
Autor: Blech

Hi,

kommt von der Definition von [mm] $h_1$. [/mm]

[mm] $\arccos(x)\in (0,\pi)\ \Rightarrow\ \sin(\arccos(x))> [/mm] 0$


> Müsste die Ableitung der Umkehrfunktion nicht eigentlich so aussehen:

> $ [mm] (f(x)^{-1})'=-\bruch{1}{\red{\pm}\wurzel{1-x^2}} [/mm] $

Die rechte Seite ist keine Funktion, weil eine Funktion jedem Wert im Definitionsbereich *einen* Wert im Wertebereich zuordnet.

Man macht das ganze manchmal salopp in anderem Kontext, wenn man nicht mit 2 fast identischen Funktionen rumhantieren will; aber wenn das rauskommen könnte, wäre die Ableitung der Umkehrfunktion nicht wohldefiniert. =)



ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Ableitung Umkehrfkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:00 Do 08.12.2011
Autor: Valerie20

Hi Stefan!

> Hi,
>  
> kommt von der Definition von [mm]h_1[/mm].
>
> [mm]\arccos(x)\in (0,\pi)\ \Rightarrow\ \sin(\arccos(x))> 0[/mm]

Das macht natürlich Sinn! [grins]
Dankeschön...
Valerie


Bezug
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