Ableitung Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir berechnen die Ableitung der Funktion
[mm] f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\qquad f(x)\,=\,\operatorname{arctrig}(x)\,,
[/mm]
der Umkehrfunktion einer differenzierbaren Funktion [mm] \operatorname{trig}:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,.
[/mm]
Es gelte [mm] \operatorname{trig}'(z)\,\neq\,0 [/mm] für alle [mm] z\in\mathbb{R}.
[/mm]
Laut der Regel zur Ableitung der Umkehrfunktion gilt dann
[mm] f'(x)\,=\,\frac{1}{\operatorname{trig}'(\omega)}\,,
[/mm]
wenn Sie welche der folgenden Formeln für [mm] \omega [/mm] einsetzen? |
Hallo.
Ich soll die o.g Aufgabe berechnen und würde mich freuen, wenn ihr ein AUge drüberwerfen könntet :).
Mein Lösungsweg bisher:
f(x) ist die Umkehrfunktion folgender Funktion: trig [mm] \IR \to \IR
[/mm]
Ich definiere sie wie folgt: g: w [mm] \mapsto [/mm] trig(w)=x
[mm] \Rightarrow
[/mm]
trig(w)=x
[mm] g^{-1}: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] arctrig(x)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] g^{-1}(x)=w
[/mm]
oder anderster ausgedrückt:
arctrig(trig(w))=w |()' -> Ableiten
[mm] (g^{-1})'(g(w))*g'(w)=1 [/mm] -> denn g(w)=x
[mm] (g^{-1})'(x)=\bruch{1}{g'(w)} [/mm] -> w=arctrig(trig(w))
[mm] (g^{-1})'{x}=\bruch{1}{g‘(arctrig(x))}
[/mm]
[mm] (g^{-1})'(x)=\bruch{1}{g'(g^{-1})}
[/mm]
Gesucht ist also w=arctrig(x)
Ist meine Rechnung so plausibel?
Ich habe diese Lösung durch die Herleitung der Umkehrregel, wie auch durch ein Schaffen von bestimmten Voraussetzungen erreicht.
Ist das so legitim?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> Wir berechnen die Ableitung der Funktion
>
> [mm]f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\qquad f(x)\,=\,\operatorname{arctrig}(x)\,,[/mm]
>
> der Umkehrfunktion einer differenzierbaren Funktion
> [mm]\operatorname{trig}:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,.[/mm]
>
> Es gelte [mm]\operatorname{trig}'(z)\,\neq\,0[/mm] für alle
> [mm]z\in\mathbb{R}.[/mm]
>
>
>
> Laut der Regel zur Ableitung der Umkehrfunktion gilt dann
>
> [mm]f'(x)\,=\,\frac{1}{\operatorname{trig}'(\omega)}\,,[/mm]
>
> wenn Sie welche der folgenden Formeln für [mm]\omega[/mm]
> einsetzen?
> Hallo.
>
> Ich soll die o.g Aufgabe berechnen und würde mich freuen,
> wenn ihr ein AUge drüberwerfen könntet :).
> Mein Lösungsweg bisher:
>
> f(x) ist die Umkehrfunktion folgender Funktion: trig [mm]\IR \to \IR[/mm]
>
> Ich definiere sie wie folgt: g: w [mm]\mapsto[/mm] trig(w)=x
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> trig(w)=x
> [mm]g^{-1}:[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] arctrig(x)
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]g^{-1}(x)=w[/mm]
> oder anderster ausgedrückt:
> arctrig(trig(w))=w |()' -> Ableiten
> [mm](g^{-1})'(g(w))*g'(w)=1[/mm] -> denn g(w)=x
> [mm](g^{-1})'(x)=\bruch{1}{g'(w)}[/mm] -> w=arctrig(trig(w))
> [mm](g^{-1})'{x}=\bruch{1}{g‘(arctrig(x))}[/mm]
> [mm](g^{-1})'(x)=\bruch{1}{g'(g^{-1})}[/mm]
>
> Gesucht ist also w=arctrig(x)
>
> Ist meine Rechnung so plausibel?
Ja, die rechnung ist plausibel.
> Ich habe diese Lösung durch die Herleitung der
> Umkehrregel, wie auch durch ein Schaffen von bestimmten
> Voraussetzungen erreicht.
> Ist das so legitim?
Ja.
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
Gruss
MathePower
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