Ableitung an der Stelle x < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
| Aufgabe | | Berechnen sie f'(x0) für f mit f(x)=Wurzel(x+2) und x0=4 |
Ich möchte gerne diese Aufgabe lösen, habe auch schon eine Anfangsgleichung aufgestellt komme allerdings überhaupt nicht weiter!
Hier mal mein erster Ansatz: m(x)=f(x)-f(x0)/(x-x0)
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Dann habe ich eingesetz: (Wurzel(x+2))-(Wurzel(4+2))/(x-4)
Jetzt komme ich nicht weiter! Ich kann das nicht vereinfachen! Im Mathebuch steht als Hilfe die Formel
a-b=(Wurzel(a)-Wurzel(b)) * (Wurzel(a)+Wurzel(b))!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Lisa,
du bist schon auf dem richtigen Weg - du betrachtest:
[mm] $\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{x-x_{0}}$
[/mm]
Und an dieser Stelle wäre eine sogenannte Nulladdition sinnvoll:
[mm] $\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{x-x_{0}}=\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{(x+2)-(x_{0}+2)}$
[/mm]
Dabei wird ja an dem Term nichts verändert, es wird einmal $2$ addiert und dann gleich wieder abgezogen (Minusklammer!)
Jetzt kannst du den Tipp in deinem Mathebuch anwenden:
[mm] $\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{(x+2)-(x_{0}+2)}=\bruch{\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2}}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{x_{0}+2})\cdot(\sqrt{x+2}-\sqrt{x_{0}+2})}$
[/mm]
Kommst du nun allein weiter?
Ansonsten frag bitte nochmal nach oder schreib uns deine Lösung für $f'(4)$. 
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Danke für den ersten Ansatz! Das habe ich alles verstanden! Als nächstes habe ich gekürzt: [mm] \underline{ \wurzel{x+2}- \wurzel{ x_{0}+2}} [/mm] geteilt durch [mm] (\wurzel{x+2}*\wurzel{x_{0}+2})+(\wurzel{x+2}-\wurzel{x_{0}+2})
[/mm]
(Sorry, das das ganze so komisch aussieht aber ich kenne mich noch nicht so ganz mit der Schreibweise hier aus! Also das was hinter geteilt durch steht, steht unter dem Bruchstrich!)
Dann kann man das auf dem Bruchstrich und das "zweite" unter dem Bruchstrich kürzen, so das dann nur noch 1/ (Wurzel(x+2) +(Wurzel x0+2)) dasteht! Und was mache ich jetzt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Danke für deine schnelle Antwort! Ich bin bei diesem Thema in Mathe nicht so die Leuchte! Ich check das ganze nicht so ganz! Wenn x [mm] \mapsto x_{0} [/mm] geht geht das dann gegen [mm] \infty???? [/mm] Ich weiß wirklich nicht wie es jetzt weitergeht!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Lisa,
keine Angst, wenn in dieser Situation [mm] $x\to x_{0}$ [/mm] geht, dann passiert gar nichts Schlimmes (und [mm] $\infty$ [/mm] wäre etwas Schlimmes! ).
Wenn man einen solchen Grenzwert bestimmen möchte, dann schaut man gewöhnlich erstmal, was passiert, wenn man einfach [mm] $x=x_{0}$ [/mm] "setzt".
Und deshalb haben wir die Umformungen gemacht:
Hätten wir nämlich gleich [mm] $x=x_{0}$ [/mm] "gesetzt", so hätten wir ja
[mm] $f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{f(x_{0})-f(x_{0})}{x_{0}-x_{0}}=\bruch{0}{0}$
[/mm]
gehabt, und das wäre schlecht...
Nach unseren Umformungen (insbesondere deinem Kürzen!) sieht das aber ganz anders aus: "Setz" doch mal [mm] $x=x_{0}$... [/mm] passiert da irgendwas Schlimmes? Nein! Also, was ist der Grenzwert?
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Ja soll ich jetzt für x xo=4 einsetzen? Neee, da kommt ja Quatsch raus! Man, ich steh grad so aufm Schlauch! Danke für deine Tipps aber grad komm ich damit nicht weiter! Haste noch ne Hilfe für mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Lisa,
setz erstmal für $x$ überall [mm] $x_{0}$ [/mm] ein. Schließlich soll [mm] $x\to x_{0}$ [/mm] gehen, d.h. alle $x$ werden zu [mm] $x_{0}$. [/mm] Du erhältst dann einen Ausdruck, in dem kein $x$ mehr drin vorkommt, sondern nur noch [mm] $x_{0}$.
[/mm]
Das ist dann die allgemeine Ableitung [mm] $f'(x_{0})$.
[/mm]
Erst ganz am Ende bilden wir $f'(4)$, indem wir [mm] $x_{0}=4$ [/mm] einsetzen.
Frag ruhig nochmal nach, wenn dir etwas unklar ist, ok?
Dafür ist der Matheraum nämlich gedacht...
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Ja wenn ich für alle x x0 einsetze dann steht nacher da: 1/ (Wurzel(x+2)+Wurzel(x+2))
Lässt sich das noch vereinfachen????
Wenn ich dann f(4) berechnen möchte setze ich für alle x0 einfach 4 ein! Dann steht da 1/ Wurzel6 + Wurzel 6! Oder 1/ (2*Wurzel 6)!!
Stimmt das jetzt so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
Ja ok danke! Dann ist der Grenzwert von m(x) für x-> 4:
[mm] \limes_{x\rightarrow\4} [/mm] m(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\4} [/mm] 1/(2+Wurzel6) =(ungefähr) 0.204???????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Lisa,
der Zahlwert stimmt schon, aber du musst das etwas anders schreiben...
Ich weiß jetzt nicht genau, wie "euer" $m(x)$ definiert ist?!
Ist [mm] $m_{x_{0}}(x)=\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ [/mm] ?
Dann wäre [mm] $f'(4)=\lim_{x\to 4}m_{4}(x)=\bruch{1}{2\sqrt{6}}$.
[/mm]
So etwa...
MFG,
Yuma
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