Ableitung an der Stelle x_0 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 80.G. Berechnen Sie die Ableitung [mm] f'(x_0) [/mm] von f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] .
80.1 f(x) = [mm] log\left(\wurzel{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}}\right) [/mm] , [mm] x_0 [/mm] = 2.
80.2 f(x) = [mm] arctan(cos(x)^{2}) [/mm] , [mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
80.3 f(x) = [mm] (tan(x))^{cos(x)} [/mm] , [mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
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Mal ein paar Ableitungs-Aufgaben.
Wie Serhat sicher schon geschrieben hat, sind wir grade "richtig" im Klausur-Lern-Stress.
Wir haben diese Aufgaben schon gelöst (er), ich werde sie jetzt auch gleich lösen und posten, und würde mich dann über Eure "Kontrolle" sehr freuen. Wir haben leider keine Lösung zu den Aufgaben.
Danke für Eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> 80.G. Berechnen Sie die Ableitung [mm]f'(x_0)[/mm] von f an der
> Stelle [mm]x_0[/mm] .
>
> 80.1 f(x) =
> [mm]log\left(\wurzel{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}}\right)[/mm] , [mm]x_0[/mm] =
> 2.
>
> 80.2 f(x) = [mm]arctan(cos(x)^{2})[/mm] , [mm]x_0[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> 80.3 f(x) = [mm](tan(x))^{cos(x)}[/mm] , [mm]x_0[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
>
> Mal ein paar Ableitungs-Aufgaben.
> Wie Serhat sicher schon geschrieben hat, sind wir grade
> "richtig" im Klausur-Lern-Stress.
>
> Wir haben diese Aufgaben schon gelöst (er), ich werde sie
> jetzt auch gleich lösen und posten, und würde mich dann
> über Eure "Kontrolle" sehr freuen. Wir haben leider keine
> Lösung zu den Aufgaben.
Eigentlich läuft das hier so, dass ihr eure Lösungen postet, und wir sie dann kontrollieren. Und am besten mit Rechenweg - dann können wir direkt eventuelle Fehler finden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
danke für den Beitrag und Du hast natürlich auch recht. Wir haben heute vor noch die Nacht durch zu arbeiten und wollten dadurch etwas Zeit sparen, weil vermutlich nicht jeder im Forum die Nach durch arbeiten wird :)
Grüße
Serhat
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Hi,
hab mir bei dem folgenden Zahlen uns Symbolgewirr folgendes gedacht:
1. Kettenregel : Äußere Funktion ist [mm] \log (x)[/mm] innere [mm]\wurzel[8]{x}[/mm].
2. Innere Funktion ist ebenfalls geschachtelt mit Äußere: Wurzelfunktion und innere: Bruch
3. Den Bruch mit Quotientenregel ableiten.
Los gehts:
[mm]f'(x)=\bruch{\lg(e)}{\wurzel[8]{\bruch{x^4-3}{x^4+1}}} \cdot\ \bruch{1}{8 \cdot\ \wurzel[8]{\left(\bruch{x^4-3}{x^4+1}\right)^7}} \cdot\ \bruch{4x^3 \cdot\ \left( \left( x^4+1 \right)-\left(x^4-3 \right) \right)}{\left(x^4+1\right)^2}[/mm]
[mm]f'(x)=\lg(e) \cdot\ \bruch{1}{8 \cdot\ \left( \bruch{x^4-3}{x^4+1} \right)}} \cdot\ \bruch{4x^3 \cdot\ \left( \left( x^4+1 \right)-\left(x^4-3 \right) \right)}{\left(x^4+1\right)^2}[/mm]
[mm]f'(x)=\lg(e) \cdot\ \bruch{2x^3}{\left( x^4-3\right) \cdot\ \left( x^4+1\right)}[/mm]
OK. Bis hier hin. Jetzt setze ich hier X=2 ein und bekomme aber etwas grausig krummes raus.
Ist da etwas falsch?
Update: Hatte [mm] x^3 [/mm] vergessen zu schreiben
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Hallo Serhat,
mach's dir nicht so kompliziert.
Wende erstmal einige Logarithmusgesetze an:
Zuerst mal den [mm] \log [/mm] als [mm] \ln [/mm] schreiben
[mm] \log(z)=\frac{\ln(z)}{\ln(10)}
[/mm]
Dann das [mm] \frac{1}{\ln(10)} [/mm] vorziehen bei der gesamten Rechnung, ich lass es mal weg.
Weiter ist [mm] \ln\left(\sqrt{\frac{x^4-3}{x^4+1}}\right)=\ln\left(\left[\frac{x^4-3}{x^4+1}\right]^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\ln\left(\frac{x^4-3}{x^4+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\ln(x^4-3)-\ln(x^4+1)\right)
[/mm]
Also hast du insgesamt [mm] $f(x)=\frac{1}{2\ln(10)}\cdot{}\left(\ln(x^4-3)-\ln(x^4+1)\right)$
[/mm]
Und das kannst du doch relativ bequem ableiten
LG
schachuzipus
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Hi Schachuzipus,
vielen Dank für den ShortCut. Das man das sieht, setzt natürlich voraus, dass man die Logarithmusregeln im Schlaf kann (Geistig bin ich ja schon im Schlaf, was beweist, dass ich es noch nicht im Schlaf kann). :)
Was mich etwas wundert und mir das Gefühl gab einen Fehler gemacht zu haben, war eben, dass beim einsetzen von X=2 eine etwas krumme Zahl raus kam. Aber scheinbar ist es richtig.
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Hallo!
> 80.G. Berechnen Sie die Ableitung [mm]f'(x_0)[/mm] von f an der
> Stelle [mm]x_0[/mm] .
>
> 80.1 f(x) =
> [mm]log\left(\wurzel{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}}\right)[/mm] , [mm]x_0[/mm] =
Also ich habe es mal einfach mit der Brute-Force-Methode gemacht, und erhalte folgendes:
[mm] \log\left(\sqrt{\frac{x^4-3}{x^4+1}}\right)'=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^4-3}{x^4+1}}*\ln 10}*\frac{1}{2\sqrt{\frac{x^4-3}{x^4+1}}}*\frac{4x^3(x^4+1)-(x^4-3)*4x^3}{(x^4+1)^2}
[/mm]
und dann habe ich leider gerade direkt einen Fehler bei mir festgestellt, weshalb ich doch nicht mehr schreibe als das hier - sonst müsste ich meine Aufgabe nochmal neu rechnen... Aber das Zusammenfassen sollte ja eigentlich höchstens Konzentrationssache sein...
Aber wozu braucht ihr denn solch bescheuerte Aufgaben? In Klausuren kommen doch in der Regel nur recht einfache Aufgaben dran, an denen man sehen kann, ob die Studenten das Prinzip verstanden haben...
Viele Grüße und viel Erfolg noch beim Rechnen
Bastiane
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Hallo nochmal, ihr wackeren Differenzierungsritter 
Bei der 2. Aufgabe kann man stumpf nach Kettenregel ableiten, da fällt mir keine vorherige Vereinfachung ein.
Bedenkt: [mm] \arctan'(x)=\frac{1}{x^2+1}
[/mm]
Bei der 3. Aufgabe würde ich das zunächst mit der allg. Potenz schreiben:
[mm] $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] und dann mit der Kettenregel verarzten.
Die Ableitung ist aber in beiden Fällen ein gar abscheuliches Biest
Na dann man tau
schachuzipus
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Also Ähnlich wie vorige Aufgabe, sind auch hier 3 Funktionen verschahtelt, ArcTan, Cos und [mm] x^2 [/mm] !
Los gehts mit 3 x Kettenregel:
[mm]f'(x)=\bruch{1}{1+\cos^4(x)} \cdot\ 2\cos(x) \cdot\ -sin(x)\[/mm]
[mm]=-2 \cdot\ \bruch{\cos(x) \cdot\ \sin(x)}{1+\cos^4(x)}[/mm]
Nun Setzt man [mm] x_{0}=\bruch{\pi}{2}[/mm] ein mit [mm] \sin(x_{0})=\cos(x_{0})=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] und erhält: [mm]f'(x_{0})=-\bruch{4}{\wurzel{2}}[/mm]
OK?
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Hi,
Ableitung stimmt ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Wenn du [mm] \frac{\pi}{\red{4}} [/mm] einsetzt, kommt aber [mm] -\frac{4}{5} [/mm] raus.
[mm] \frac{-2\cdot{}\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4}=-\frac{4}{5}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hi,
Danke !
Eben die Summen kürzen nur die Dummen :)
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Hier meine Lösung, ich habe mich mal versucht strikt an die "Vorschriften" zu halten. Weil ich Informatiker bin und kein Mathematiker, hab ich mir gleich mal ein paar Variablen definiert. Ich hoffe ich darf das!;)
[mm] f(x)=log(\wurzel[8]{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}})
[/mm]
Sei [mm] a=\wurzel[8]{b}
[/mm]
und [mm] b=\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{a}*lg(e)*a' [/mm] //Kettenregel
[mm] a'=\bruch{1}{8*\wurzel[8]{b^{7}}}*b' [/mm] //Kettenregel
[mm] b'=\bruch{4x^{3}*(x^{4}+1)-(x^{4}-3)*4x^{3}}{(x^{4}+1)^{2}} [/mm] //Quotientenregel
[mm] b'=\bruch{4x^{3}*((x^{4}+1)-(x^{4}-3))}{(x^{4}+1)^{2}} [/mm] //Ausklammern!(Wie nennt sich das eigentlich richtig?)
[mm] b'=\bruch{4x^{3}*(4)}{(x^{4}+1)^{2}}=\bruch{16x^{3}}{(x^{4}+1)^{2}}
[/mm]
Jetzt setze ich b' und b in a' ein:
[mm] a'=\bruch{1}{8*\wurzel[8]{b^{7}}}*b'=\bruch{1}{8*\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}}*\bruch{16x^{3}}{(x^{4}+1)^{2}}=\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}*(x^{4}+1)^{2}}
[/mm]
Und nun a' in die Ableitung von f (f'):
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel[8]{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}}}*lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}*(x^{4}+1)^{2}} [/mm] // Alle Variablen wieder ausgeschrieben
Anordnung verbessert und unter einen Bruchstrich gebracht:
[mm] f'(x)=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}}*\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}*(x^{4}+1)^{2}}
[/mm]
Die Wurzeln nun zusammengefasst:
[mm] f'(x)=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)*\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}*(x^{4}+1)^{2}}
[/mm]
[mm] f'(x)=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{8}}*(x^{4}+1)^{2}}
[/mm]
Die 8.-Wurzel lößt sich also nun auf:
[mm] f'(x)=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)*(x^{4}+1)^{2}}
[/mm]
Kurz Umformen:
[mm] f'(x)=lg(e)*\bruch{(2x^{3})*(x^{4}+1)}{(x^{4}-3)*(x^{4}+1)^{2}}=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{(x^{4}-3)*(x^{4}+1)}
[/mm]
Somit ist [mm] f'(2)=lg(e)*\bruch{4^{3}}{(2^{4}-3)*(2^{4}+1)}=lg(e)*\bruch{64}{13*17}=lg(e)*\bruch{64}{221}.
[/mm]
Im Taschenrechner, den ich nicht in der Klausur habe ergibt das:
0,1257. Aber das müsste ich dann wohl eher nicht in der Klausur wissen, oder? ;)
Bitte lass es richtig sein.
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Hallo Flo,
fast alles richtig, ein kleiner Fehler beim Einsetzen ist dir unterlaufen:
> Hier meine Lösung, ich habe mich mal versucht strikt an die
> "Vorschriften" zu halten. Weil ich Informatiker bin und
> kein Mathematiker, hab ich mir gleich mal ein paar
> Variablen definiert. Ich hoffe ich darf das!;)
>
> [mm]f(x)=log(\wurzel[8]{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}})[/mm]
>
> Sei [mm]a=\wurzel[8]{b}[/mm]
>
> und [mm]b=\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{a}*lg(e)*a'[/mm] //Kettenregel
>
> [mm]a'=\bruch{1}{8*\wurzel[8]{b^{7}}}*b'[/mm] //Kettenregel
>
> [mm]b'=\bruch{4x^{3}*(x^{4}+1)-(x^{4}-3)*4x^{3}}{(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
> //Quotientenregel
>
> [mm]b'=\bruch{4x^{3}*((x^{4}+1)-(x^{4}-3))}{(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
> //Ausklammern!(Wie nennt sich das eigentlich richtig?)
>
> [mm]b'=\bruch{4x^{3}*(4)}{(x^{4}+1)^{2}}=\bruch{16x^{3}}{(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
>
> Jetzt setze ich b' und b in a' ein:
>
>
> [mm]a'=\bruch{1}{8*\wurzel[8]{b^{7}}}*b'=\bruch{1}{8*\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}}*\bruch{16x^{3}}{(x^{4}+1)^{2}}=\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}*(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
>
> Und nun a' in die Ableitung von f (f'):
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{\wurzel[8]{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}}}*lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}*(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
> // Alle Variablen wieder ausgeschrieben
>
> Anordnung verbessert und unter einen Bruchstrich gebracht:
>
> [mm]f'(x)=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}}*\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}*(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
>
> Die Wurzeln nun zusammengefasst:
>
> [mm]f'(x)=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)*\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{7}}*(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\wurzel[8]{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)^{8}}*(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
>
> Die 8.-Wurzel lößt sich also nun auf:
>
> [mm]f'(x)=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{\left(\bruch{x^{4}-3}{x^{4}+1}\right)*(x^{4}+1)^{2}}[/mm]
>
> Kurz Umformen:
>
> [mm]f'(x)=lg(e)*\bruch{(2x^{3})*(x^{4}+1)}{(x^{4}-3)*(x^{4}+1)^{2}}=lg(e)*\bruch{2x^{3}}{(x^{4}-3)*(x^{4}+1)}[/mm]
Nein, für die Arbeit gebührt die ein dicker ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
>
> Somit ist
> [mm]f'(2)=lg(e)*\bruch{2\cdot{}\red{2}^{3}}{(2^{4}-3)*(2^{4}+1)}=lg(e)*\bruch{\red{16}}{13*17}=lg(e)*\bruch{\red{16}}{221}.[/mm]
>
> Im Taschenrechner, den ich nicht in der Klausur habe ergibt
> das:
>
> 0,1257. [mm] \red{0,1967} [/mm] Aber das müsste ich dann wohl eher nicht in der
> Klausur wissen, oder? ;)
Nein, auf keinen Fall.
Das dauert ja auch Ewigkeiten, sowas zu Fuß zu differenzieren, das ist für ne Klausur viel zu (zeit-)aufwendig
LG
schachuzipus
>
> Bitte lass es richtig sein.
>
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Danke.
Hab schon sorge gehabt, dass es nur bei uns so lange dauert. Ist erleichternd zu hören, dass es auch für euch nicht gerade langweilig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Do 13.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Salve Imperator!
Hier geht es meiner Meinung nach aber auch darum, dass man hier zunächst mit Hilfe der  Logarithmusgesetze umformt. Dann ist anschließend die Ableitung nur noch ein Klacks ... Von daher halte ich diese Aufgabe auch in einer Klausur nicht für unfair.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallöchen zusammen!
Meiner Meinung nach ist die Lösung korrekt, allerdings hat euch schachuzipus ja schon einen Tip für einen einfacheren Weg (Ersetzt die 2 durch 8) gegeben, der übrigens genau zu eurer Lösung führt, denn:
[mm] f(x)= \bruch{1}{8ln(10)}(ln(x^4-3)-ln(x^4+1))[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{8ln(10)}(\bruch{1}{(x^4-3)}*(4x^3)-\bruch{1}{x^4+1}*(4x^3))[/mm]
Auf einen Hauptnenner bringen und [mm] log_{b}(g)*log_{g}(b)=1 [/mm] benutzen und es folgt:
[mm] f'(x)=\bruch{lg(e)*4x^3(x^4+1-(x^4-3))}{8(x^4-3)(x^4+1)}=\bruch{lg(e)*16x^3}{(x^4-3)(x^4+1)}=lg(e)\bruch{2x^3}{(x^4-3)(x^4+1)}
[/mm]
Nur beim Einsetzen habt ihr euch dann verrechnet! Dann weiterhin Viel Erfolg!
Gruß
Deuterinomium
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Hi,
hab ne Lösung, mal sehen, ob es was taugt:
[mm]f(x)=(\tan x)^{\cos x}=e^{\ln(\tan x)^{\cos x}}=e^{\cos x \cdot\ \ln(\tan x)}[/mm]
[mm]f'(x)=e^{\cos x \cdot\ \ln(\tan x)} \cdot\ -\sin x \cdot\ \ln(\tan x) + \cos x \cdot\ \bruch{1}{\tan x \cdot\ \cos^2 x}[/mm]
Weiter komm ich leider nicht.
Kann man das so stehen lassen, oder lässt sich das noch optimieren?
[mm]=e^{\cos x \cdot\ \ln(\tan x)} \cdot\ -\sin x \cdot\ \ln(\tan x) + \bruch{1}{\sin x}[/mm]
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Imperator!
Wenn Du hier noch Klammern setzt, ist alles prima.
$$f(x)=(\tan x)^{\cos x}=\red{\left[}e^{\ln(\tan x)}\red{\right]}^{\cos x}}=e^{\cos x \cdot\ \ln(\tan x)}$$
$$f'(x)=e^{\cos x \cdot\ \ln(\tan x)} \cdot\ \red{\left[}-\sin x \cdot\ \ln(\tan x) + \cos x \cdot\ \bruch{1}{\tan x \cdot\ \cos^2 x}\red{\right]}=e^{\cos x \cdot\ \ln(\tan x)} \cdot\ \red{\left[}-\sin x \cdot\ \ln(\tan x) + \bruch{1}{\sin x}\red{\right]}$$
Die letzte Umformung war sehr gut .
Gruß vom
Roadrunner
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Danke,
ich bin beruhigt :)
Da man nacher ja noch den Wert an der Stelle [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{4}[/mm] bestimmen soll, habe ich die anfängliche Umformung wieder rückgängig gemacht:
[mm]f'(x)=(\tan x)^{\cos x} \cdot\ (-\sin x \cdot\ \ln(\tan x)) + \bruch{1}{\sin x}[/mm]
mit [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{4} folgt \sin x_{0}=\bruch{\wurzel{2}}{2} und \tan x_{0}=1[/mm]
[mm]\Rightarrow F'(x_{0})=1 \cdot\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} \cdot\ 0 + \bruch{2}{\wurzel{2}}=\bruch{2}{\wurzel{2}}[/mm]
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Hi,
> Danke,
>
> ich bin beruhigt :)
>
> Da man nacher ja noch den Wert an der Stelle
> [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{4}[/mm] bestimmen soll, habe ich die
> anfängliche Umformung wieder rückgängig gemacht:
>
> [mm]f'(x)=(\tan x)^{\cos x} \cdot\ (-\sin x \cdot\ \ln(\tan x)) + \bruch{1}{\sin x}[/mm]
>
> mit [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{4} folgt \sin x_{0}=\bruch{\wurzel{2}}{2} und \tan x_{0}=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow F'(x_{0})=1 \cdot\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} \cdot\ 0 + \bruch{2}{\wurzel{2}}=\bruch{2}{\wurzel{2}}[/mm]
[mm] =\sqrt{2}
[/mm]
Alles ok
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Do 13.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Imperator!
Nun also noch den Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm] einsetzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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