Ableitung arcsin < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:24 Do 19.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Ableitung des arcsin, wie sie in einer Literatur geführt wird.
Gegeben ist also die Funktion arcsin: [-1, 1] [mm] \mapsto \IR [/mm] als Umkehrfunktion von sin: [mm] [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \mapsto \IR.
[/mm]
Für x [mm] \in [/mm] ]-1, 1[ gilt gemäßt der Ableitungsregel der Umkehrfunktion:
arcsin'(x) = [mm] \frac{1}{sin'(arcsin x)} [/mm] = [mm] \frac{1}{cos(arcsin x)}
[/mm]
Sei nun y:= arcsin x. Dann ist sin y = x und cos y = [mm] +\wurzel{1-x^{2}}, [/mm] da y [mm] \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. [/mm] Also ergibt sich
[mm] \frac{d arcsin x}{dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm] für -1 < x < 1.
---
Wo ich eine Frage habe ist diese Stelle:
> Sei nun y:= arcsin x. Dann ist sin y = x und cos y = [mm] +\wurzel{1-x^{2}}, [/mm]
> da y [mm] \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]
[/mm]
Es ist mir klar, dass wegen y [mm] \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] [/mm] cos y [mm] \ge [/mm] 0 ist. Aber wieso steht das + bei cos y = [mm] +\wurzel{1-x^{2}} [/mm] ?
Aus sin² y + cos² y = 1 folgt ja cos² y = 1 - sin² y.
Ist es nun so, dass aus cos² y entweder cos y = [mm] +\wurzel{1-x^{2}} [/mm] oder - [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] folgen kann, und wegen y [mm] \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] [/mm] deshalb nur cos y = [mm] +\wurzel{1-x^{2}} [/mm] gelten kann?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:27 Do 19.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich habe eine Frage zur Ableitung des arcsin, wie sie in
> einer Literatur geführt wird.
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> Gegeben ist also die Funktion arcsin: [-1, 1] [mm]\mapsto \IR[/mm]
> als Umkehrfunktion von sin: [mm][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \mapsto \IR.[/mm]
>
> Für x [mm]\in[/mm] ]-1, 1[ gilt gemäßt der Ableitungsregel der
> Umkehrfunktion:
>
> arcsin'(x) = [mm]\frac{1}{sin'(arcsin x)}[/mm] = [mm]\frac{1}{cos(arcsin x)}[/mm]
>
> Sei nun y:= arcsin x. Dann ist sin y = x und cos y =
> [mm]+\wurzel{1-x^{2}},[/mm] da y [mm]\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].[/mm]
> Also ergibt sich
>
> [mm]\frac{d arcsin x}{dx}[/mm] = [mm]\frac{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm] für -1
> < x < 1.
>
> ---
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> Wo ich eine Frage habe ist diese Stelle:
> > Sei nun y:= arcsin x. Dann ist sin y = x und cos y =
> [mm]+\wurzel{1-x^{2}},[/mm]
> > da y [mm]\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/mm]
>
> Es ist mir klar, dass wegen y [mm]\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/mm]
> cos y [mm]\ge[/mm] 0 ist. Aber wieso steht das + bei cos y =
> [mm]+\wurzel{1-x^{2}}[/mm] ?
> Aus sin² y + cos² y = 1 folgt ja cos² y = 1 - sin² y.
> Ist es nun so, dass aus cos² y entweder cos y =
> [mm]+\wurzel{1-x^{2}}[/mm] oder - [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm] folgen kann, und
> wegen y [mm]\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}][/mm] deshalb nur
> cos y = [mm]+\wurzel{1-x^{2}}[/mm] gelten kann?
ja, für y in diesem Intervall ist cos y [mm] \ge [/mm] 0.
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>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Do 19.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Alles klar Dankeschön, dann lag ich doch richtig!
Gruß X3nion
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