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Ableitung berechnen: Logarithmus und Betrag
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:13 Mi 03.01.2007
Autor: MaryFelice

Aufgabe
Zeigen Sie, dass gilt f'(x)= 1/2 - 1/(x(x-1)).

Dabei ist f(x)=x/2 + ln | x/(x-1) |

Hi! Versuche gerade das Ding abzuleiten und dann (für den Beweis) das gleiche heraus zu bekommen...funktioniert aber nicht....ich weiß nicht wirklich, wie ich das mit den Betragsstrichen machen soll!
Wäre wirklich super nett, wenn mir jemand helfen könnte!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableitung berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Mi 03.01.2007
Autor: Gonozal_IX

Also ich würde wie folgt vorgehen:

1. Fallunterscheidung, damit du den Betrag wegbekommst.

2. Ableiten :-)

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Ableitung berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Mi 03.01.2007
Autor: MaryFelice

Danke! Nur mein Problem ist dann: was für Fälle? Mir sind bloß eingefallen x positiv und x negativ....Aber das ergibt doch keinen Sinn, da ich ja den Logarithmus nur aus einer positiven Zahl ziehen kann....

Bezug
                        
Bezug
Ableitung berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Mi 03.01.2007
Autor: Gonozal_IX


> Danke! Nur mein Problem ist dann: was für Fälle? Mir sind
> bloß eingefallen x positiv und x negativ....Aber das >ergibt doch keinen Sinn, da ich ja den Logarithmus nur >aus einer positiven Zahl ziehen kann....

Hiho,

damit hast du völlig recht, darum steht der Betrag ja auch nicht um das x, sondern um den gesamten Bruch, d.h.
deine Fallunterscheidung müsste nicht heissen x nichtnegativ oder negativ, sondern

[mm] \bruch{x}{x-1} [/mm] nichtnegativ oder positiv :)

Bezug
                                
Bezug
Ableitung berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Mi 03.01.2007
Autor: MaryFelice

Aha...aber dann müsste doch der negative Fall von Anfang an rausfallen....

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:40 Do 04.01.2007
Autor: Walty


> Aha...aber dann müsste doch der negative Fall von Anfang an
> rausfallen....

deswegen wird der Betrag genommen

[mm] \ln{\vmat{\bruch{x}{x-1}}} \Rightarrow \begin{cases} \ln{\bruch{x}{x-1}}, & \mbox{für } \bruch{x}{x-1}>0 \\ \ln{-\bruch{x}{x-1}}, & \mbox{für } \bruch{x}{x-1}<0 \end{cases} [/mm]
da kommt die Fallunterscheidung ja erst her!

Zu beachten ist aber auch noch, dass hier mindestens 2 Unstetigkeitstellen zu untersuchen sind! x=0, und (x-1)=0


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