Ableitung berechnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung der Funktionen:
$f: [mm] {]0,\pi[} \to \IR, f(x):=\ln\left( x*\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1} \right)$
[/mm]
$g: [mm] {]0,\pi[} \to \IR, g(x):=\ln\left( x+\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1} \right)$ [/mm] |
Guten Morgen,
es wäre sehr nett, wenn jemand bei Gelegenheit meine Lösung korrigieren könnte:
[mm] $f(x):=\underbrace {\ln\underbrace {\left( x*\overbrace {\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}}^{Kettenregel} \right)}_{Produktregel}}_{Kettenregel}$
[/mm]
Leite [mm] $\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}$ [/mm] mit Kettenregel ab:
[mm] $\wurzel{x}$ [/mm] abgeleitet [mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x}}$
[/mm]
Bruch mit Quotientenregel ableiten: [mm] $\bruch{1*\sin x-x*\cos x}{(\sin x)^{2}}$
[/mm]
Also: [mm] $\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{x}{\sin x}-1}}*\bruch{\sin x-x*\cos x}{(\sin x)^{2}}=\bruch{\sin x-x*\cos x}{2\wurzel{\bruch{x}{\sin x}-1}*(\sin x)^{2}}$
[/mm]
Leite [mm] $x\cdot{}\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}$ [/mm] mit Produktregel ab:
[mm] $1*\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}+x*\bruch{\sin x-x*\cos x}{2\wurzel{\bruch{x}{\sin x}-1}*(\sin x)^{2}}$
[/mm]
Leite die gesamte Funktion mit Kettenregel ab:
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{x\cdot{}\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}}*\left( \wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}+x*\bruch{\sin x-x*\cos x}{2\wurzel{\bruch{x}{\sin x}-1}*(\sin x)^{2}} \right)$
[/mm]
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[mm] $g(x):=\underbrace {\ln \left( x+\overbrace {\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}}^{Kettenregel} \right)}_{Kettenregel}$
[/mm]
Leite [mm] $\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}$ [/mm] mit Kettenregel ab:
[mm] $\wurzel{x}$ [/mm] abgeleitet [mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x}}$
[/mm]
Bruch mit Quotientenregel ableiten: [mm] $\bruch{1*\sin x-x*\cos x}{(\sin x)^{2}}$
[/mm]
Also: [mm] $\bruch{1}{2\wurzel{\bruch{x}{\sin x}-1}}*\bruch{\sin x-x*\cos x}{(\sin x)^{2}}=\bruch{\sin x-x*\cos x}{2\wurzel{\bruch{x}{\sin x}-1}*(\sin x)^{2}}$
[/mm]
Leite [mm] $x+\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}$ [/mm] ab:
[mm] $1+\bruch{\sin x-x*\cos x}{2\wurzel{\bruch{x}{\sin x}-1}*(\sin x)^{2}}$
[/mm]
Leite die gesamte Funktion mit Kettenregel ab:
[mm] $g'(x)=\bruch{1}{x+\wurzel{\frac{x}{\sin x}-1}}*\left( 1+\bruch{\sin x-x*\cos x}{2\wurzel{\bruch{x}{\sin x}-1}*(\sin x)^{2}} \right)$
[/mm]
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 So 06.02.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo el_grecco,
das sind ja ganz schöne Bandwürmer, die da raus kommen, aber ich konnte keinen Fehler entdecken.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 So 06.02.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo infinit,
danke für die Korrektur.
Ich denke mal die Aufgabe diente nur dazu, die diversen Regeln zu trainieren...
Einen schönen Sonntag noch,
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 So 06.02.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo el_grecco,
ja, das soll wohl eine Art Training sein. Man muss diese Aufgaben mit einer gewissen Disziplin durchrechnen, sonst schleichen sich sehr schnell Fehler ein. Die einzelnen Schritte hast Du ja prima erkannt, da dürfte das bei Dir kein großes Problem sein, mit diesen Aufgaben fertig zu werden.
Auch Dir noch einen schönen Sonntag und viele Grüße,
Infinit
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