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Hallo zusammen
Die Funktion f sei für [mm] |x|\le2 [/mm] definiert durch die Formel [mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^3\wurzel{4-x^2}.
[/mm]
Nun soll ich die Intervalle bestimmen, wo es monoton wachsend bzw. fallend ist. Wie muss ich da vorgehen? Die Funktion ist ja nicht einfach.
Vielen Dank schonma.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Do 18.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Leite die Funktion mal mit Produkt- und Kettenregel ab. Dann musst du schauen, wo f'(x) größer als 0 ist (dort steigt f(x)) und wo f'(x) kleiner als 0 ist (dort fällt f(x)).
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Ja das hab ich. Bin auf [mm] f'(x)=x^2\wurzel{4-x^2}+\bruch{1}{3}x^3\bruch{-2x}{2\wurzel{4-x^2}}.
[/mm]
Doch wie finde ich da raus, wo nun steigend bzw. fallend ist, ausser mit ausprobieren...^^
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Hallo blackkilla,
> Ja das hab ich. Bin auf
> [mm]f'(x)=x^2\wurzel{4-x^2}+\bruch{1}{3}x^3\bruch{-2x}{2\wurzel{4-x^2}}.[/mm]
>
> Doch wie finde ich da raus, wo nun steigend bzw. fallend
> ist, ausser mit ausprobieren...^^
Bringe f'(x) auf die Gestalt
[mm]f'\left(x\right)=\bruch{p\left(x\right)}{\wurzel{4-x^2}}[/mm]
Erweitere dazu den Summanden [mm]x^2\wurzel{4-x^2}[/mm]
mit [mm]\bruch{3\wurzel{4-x^2}}{3\wurzel{4-x^2}}[/mm]
Faktorisiere dann das im Zähler erhaltene Polynom.
Gruss
MathePower
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Yep super, bin auf [mm] \bruch{4x^2(3-x^2)}{3\wurzel{4-x^2}} [/mm] gekommen.
Nun muss ich ja schauen wann [mm] 4x^2(3-x^2) [/mm] grösser bzw. kleiner als 0 ist.
Muss ich da ausprobieren oder gibts da eine bestimmte Vorgehensweise?
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Hallo blackkilla,
> Yep super, bin auf [mm]\bruch{4x^2(3-x^2)}{3\wurzel{4-x^2}}[/mm]
> gekommen.
>
> Nun muss ich ja schauen wann [mm]4x^2(3-x^2)[/mm] grösser bzw.
> kleiner als 0 ist.
>
> Muss ich da ausprobieren oder gibts da eine bestimmte
> Vorgehensweise?
Es gibt eine bestimmte Vorgehensweise.
Betrachten wir den Fall [mm]4x^{2}*\left(3-x^{2}\right) > 0[/mm]
Dann können zwei Fälle auftreten:
i) [mm]x^{2} > 0 \wedge 3-x^{2} > 0[/mm]
ii) [mm]x^{2} < 0 \wedge 3-x^{2} < 0[/mm]
Der Fall ii) ist uninteressant, da [mm]x^{2} \ge 0[/mm] für [mm]x \in \IR[/mm]
Jetzt muß Du im Fall i) herausfinden,
für welche x beide Ungleichungen erfüllt sind.
Ähnlich läuft das für den Fall [mm]4x^{2}*\left(3-x^{2}\right) < 0[/mm]
Gruss
MathePower
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Warum kommt ii) überhaupt in Frage. Das Ganze ist ja dann kleiner als Null und von daher auch der Zähler automatisch...
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Hallo blackkilla,
> Warum kommt ii) überhaupt in Frage. Das Ganze ist ja dann
> kleiner als Null und von daher auch der Zähler
> automatisch...
Nein.
Wir betrachten hier den Fall ">0".
Und ein Produkt aus zwei Faktoren a,b
ist genau in zwei Fällen größer Null:
i) [mm]a>0 \wedge b>0[/mm]
ii) [mm]a<0 \wedge b<0[/mm]
Gruss
MathePower
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So habe jetzt das Intervall für monoton wachsend gefunden.
[mm] (-\wurzel{3},\wurzel{3})
[/mm]
Doch habe ein bisschen Mühe mit monoton fallend...
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Hallo blackkilla,
> So habe jetzt das Intervall für monoton wachsend
> gefunden.
>
> [mm](-\wurzel{3},\wurzel{3})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Doch habe ein bisschen Mühe mit monoton fallend...
Nachdem Du das Intervall für monoton wachsend gefunden hast,
und die Funktion auf einem bechränkten Intervall definiert ist,
ist die Funktion auf dem restlichen Intervall monoton fallend.
Gruss
MathePower
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2 muss man ja hier auch als -2 betrachten.
Von daher komme ich auf [mm] (-2,-\wurzel{3}) [/mm] und [mm] (\wurzel{3},2)
[/mm]
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Hallo blackkilla,
> 2 muss man ja hier auch als -2 betrachten.
>
> Von daher komme ich auf [mm](-2,-\wurzel{3})[/mm] und [mm](\wurzel{3},2)[/mm]
>
Gruss
MathePower
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