Ableitung der e-Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | (entspricht inhaltlich der Frage!) |
Hallo Leute!
...und einen schönen Nachmittag allerseits!
...jetzt möchte ich euch eine Frage stellen:
Ich würde gerne Wissen, wie man die e-Funktion ableitet. Dieses möchte ich dann Verwenden, um über einen Wechsel der Basis beliebige Exponentialfunktionen abzuleiten (ich habe mir überlegt, dass das gehen müsste, vielleicht nicht korrekt!).
Das Ergebnis habe ich einfach nachsehen können: [mm]f(x)=e^x[/mm][mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f'(x)=e^x[/mm].
...aber wie man dahin kommt, dass konnte ich bisher nicht erschließen.
In diesem Matheplanet-Forum habe ich mal was ganz verünftiges angefangen zu lesen, finde es aber nicht mehr. Dort wurde mit dem Differnzenquotienten argumentiert, dann kamen (meine ich!) eine Reihe ganz trickreicher Rechungne und Umformungen..,aber mehr weiss ich leider nicht mehr!
Könntet ihr mir helfen, wäre sehr nett!
(Es hat keine Eile, insbeondere auch nichts mit meinem Mathematik Unterricht zu tun!)
Schon mal ein großes DANKESCHÖN für eure Antworten!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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Hallo Goldener_Sch.!
> (entspricht inhaltlich der Frage!)
Dann lass dieses Feld doch das nächste Mal einfach frei!!!
> Ich würde gerne Wissen, wie man die e-Funktion ableitet.
> Dieses möchte ich dann Verwenden, um über einen Wechsel der
> Basis beliebige Exponentialfunktionen abzuleiten (ich habe
> mir überlegt, dass das gehen müsste, vielleicht nicht
> korrekt!).
Da "beliebige Exponentialfunktionen" so definiert sind: [mm] a^x=e^{x\ln a} [/mm] kannst du sie mithilfe der Kettenregel direkt ableiten, sobald du die Ableitung der e-Funktion kennst. Und die hast du ja unten schon aufgeschrieben.
Es ergibt sich also: [mm] a^x'=\ln a*a^x.
[/mm]
> Das Ergebnis habe ich einfach nachsehen können: [mm]f(x)=e^x[/mm][mm] \Rightarrow[/mm]
> [mm]f'(x)=e^x[/mm].
> ...aber wie man dahin kommt, dass konnte ich bisher nicht
> erschließen.
Das kann ich dir im Moment auch nicht sagen, dürfte man aber in diversen Büchern finden. Hast du schon mal überlegt, in Uni-Mathematik Bücher zu gucken, wenn dich so etwas so sehr interessiert? 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 So 18.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Das Ergebnis habe ich einfach nachsehen können: [mm]f(x)=e^x[/mm][mm] \Rightarrow[/mm]
> [mm]f'(x)=e^x[/mm].
> ...aber wie man dahin kommt, dass konnte ich bisher nicht
> erschließen.
[mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow{0}}\br{e^{x+h}-e^x}{h}=\limes_{h\rightarrow{0}}e^x\br{e^{h}-1}{h}=e^x\limes_{h\rightarrow{0}}\br{e^{h}-1}{h}
[/mm]
[mm] \br{e^{h}-1}{h}=\br{\summe_{n=0}^{\infty}\br{h^n}{n!}-1}{h}=\br{\summe_{n=1}^{\infty}\br{h^n}{n!}}{h}=\summe_{n=1}^{\infty}\br{h^{n-1}}{n!}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\br{h^{n-1}}{n!}=1+\summe_{n=2}^{\infty}\br{h^{n-1}}{n!}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow{0}}\left(1+\summe_{n=2}^{\infty}\br{h^{n-1}}{n!}\right)=1 [/mm] weil der zweite Summand als kleinste Potenz [mm] h^1 [/mm] somit für h gegen null zu 0 wird.
Also gilt [mm] f'(x)=e^x
[/mm]
mfg ullim
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