Ableitung durch Interpolation < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie näherungsweise die Ableitung der Funktion $f(x) = x sin(x)$, indem Sie 5 Werte
für $h$ (etwa $0.01$, $0.005$, $0.001$, $0.0005$, $0.0001$) wählen und das Interpolationspolynom durch
diese Werte bei $0$ auswerten. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den
Ergebnissen bei Berechnung mit dem einseitigen und dem zentralen Differenzenquotienten. |
Hallo,
ich muss folgende Aufgabenstellung für einen Computernumerik-Kurs lösen. Ich habe mal so angefangen, dass ich die Funktion differenziert habe, damit ich einmal das analytische Ergebnis bekomme:
$f(x)' = [mm] \frac{d}{dx} [/mm] (x sin(x)) = sin(x) + x cos(x)$
$f(0)' = 0$
Als Ergebnis erwarte ich also $0$. Danach habe ich mal den zweiten Teil der Aufgabenstellung gelöst, also den einseitigen und den zentralen Differenzenquotient:
Einseitiger Differenzenquotient: $f(x) [mm] \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
[/mm]
Zentraler Differenzenquotient: $f(x) [mm] \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$
[/mm]
Wenn ich hier einsetze bekomme ich laut Matlab folgende Ergebnisse:
[mm] \begin{center}
\begin{tabular}{ l | l | l | l | l | l }
\hline
h & 0.01 & 0.005 & 0.001 & 0.0005 & 0.0001 \\ \hline
Einseitig & 0.009999833334167 & 0.004999979166693 & 0.000999999833333 & 0.000499999979167 & 0.000099999999833 \\ \hline
Zentral & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
[/mm]
Also beim einseitigen habe ich eine Abweichung und beim zentralen ist das Ergebnis immer genau.
Aber wie bilde ich jetzt die Ableitung der Funktion an der Stelle $0$ mit Hilfe eines Interpolationspolynoms?
Mein erster Ansatz war ja, zuerst das Interpolationspolynom für $f(x)$ aufzustellen und dieses dann abzuleiten um eine Annäherung für die Ableitung zu bekommen, aber ich weiß nicht ob das stimmen kann?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 29.05.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Bestimmen Sie näherungsweise die Ableitung der Funktion
> [mm]f(x) = x sin(x)[/mm], indem Sie 5 Werte
> für [mm]h[/mm] (etwa [mm]0.01[/mm], [mm]0.005[/mm], [mm]0.001[/mm], [mm]0.0005[/mm], [mm]0.0001[/mm]) wählen
> und das Interpolationspolynom durch
> diese Werte bei [mm]0[/mm] auswerten. Vergleichen Sie die Ergebnisse
> mit den
> Ergebnissen bei Berechnung mit dem einseitigen und dem
> zentralen Differenzenquotienten.
> Hallo,
>
> ich muss folgende Aufgabenstellung für einen
> Computernumerik-Kurs lösen. Ich habe mal so angefangen,
> dass ich die Funktion differenziert habe, damit ich einmal
> das analytische Ergebnis bekomme:
>
> [mm]f(x)' = \frac{d}{dx} (x sin(x)) = sin(x) + x cos(x)[/mm]
> [mm]f(0)' = 0[/mm]
>
> Als Ergebnis erwarte ich also [mm]0[/mm]. Danach habe ich mal den
> zweiten Teil der Aufgabenstellung gelöst, also den
> einseitigen und den zentralen Differenzenquotient:
>
> Einseitiger Differenzenquotient: [mm]f(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm]
>
> Zentraler Differenzenquotient: [mm]f(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}[/mm]
>
> Wenn ich hier einsetze bekomme ich laut Matlab folgende
> Ergebnisse:
>
> [mm]\begin{center}
\begin{tabular}{ l | l | l | l | l | l }
\hline
h & 0.01 & 0.005 & 0.001 & 0.0005 & 0.0001 \\ \hline
Einseitig & 0.009999833334167 & 0.004999979166693 & 0.000999999833333 & 0.000499999979167 & 0.000099999999833 \\ \hline
Zentral & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}[/mm]
>
> Also beim einseitigen habe ich eine Abweichung und beim
> zentralen ist das Ergebnis immer genau.
>
> Aber wie bilde ich jetzt die Ableitung der Funktion an der
> Stelle [mm]0[/mm] mit Hilfe eines Interpolationspolynoms?
>
> Mein erster Ansatz war ja, zuerst das Interpolationspolynom
> für [mm]f(x)[/mm] aufzustellen und dieses dann abzuleiten um eine
> Annäherung für die Ableitung zu bekommen, aber ich weiß
> nicht ob das stimmen kann?
Ja, so ist das wohl gemeint.
>
> Danke.
Gruß
meili
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