Ableitung einer Kostenfunktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mo 16.07.2007 | | Autor: | bummelb |
| Aufgabe | Berechnen Sie für nachfolgende Kostenfunktion K die Grenzkostenfunktion K´, und geben Sie den zu K´ gehörenden Definitionsbereich an:
K(t) = [mm] (3*t^4-2)-ln(sqrt(t^2-2))+3) [/mm] , sqrt2 < = t (t als Gewicht der Ausbringungsmenge)
a) Berechnen Sie die Zahl K´(2), und geben Sie eine geom. und inhaltl. Interpretation dieser Zahl.
b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Kostenänderung [K(3) - K(2)] und K´(2) ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also zunächst ist alles ein großes Fragezeichen, da ich mit der Ableitung schon schwer zu kämpfen hab und eigentlich nicht weiß wie ich an´s Ziel komme, via welcher Methode auch immer...
K´(t) = [mm] (3t^4) [/mm] * [mm] (1/(t^2)^1/2) [/mm] wäre meine Idee dazu...
wenn das soweit überhaupt korrekt ist... aus einem unerklärlichen Grund schaltet mein Hirn bei Wurzeln und Logarithmen ab ;=( Und alle Seiten im Netz mit Ihren erschlagenden Erläuterungen trugen nur zu weiterer Verwirrung bei...
Vielleicht kann mir wer helfen, die Ableitung zu erstellen, einen Hinweis zur Lösung von a) & b) nehm ich auch dankend an...
Vielen Dank vorab.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mo 16.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du hast eine Klammer zuviel gesetzt, sodass man/ich nicht genau weiß, welche Funktion du meinst:
> [mm] k(x)=(3\cdot{}t^4-2)-ln(sqrt(t^2-2))+3)
[/mm]
Meinst du
1) [mm] k(x)=(3\cdot{}t^4-2)-ln(\wurzel{(t^2-2)})+3
[/mm]
oder
2) [mm] k(x)=(3\cdot{}t^4-2)-ln(\wurzel{(t^2-2)}+3)
[/mm]
oder meinst du etwas ganz anderes? Du siehst den Unterschied?
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mo 16.07.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich gebe dir mal die Lösungen für beide Fälle an, wobei mir der zweite Fall logischer erscheint. Der erste wäre komplizierter und würde zudem noch einen Wurzelausdruck enthalten, was bei einer Kostenfunktion eher nicht so wahrscheinlich ist, meiner Meinung nach.
1:
[mm] k(t)=3t^{4}-2-ln(\sqrt{t^{2}-2}+3)
[/mm]
[mm] k'(t)=12t^{3}-\bruch{1}{\sqrt{t^{2}-2}+3}*(\bruch{1}{2}*2t*(t^{2}-2)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
= [mm] 12t^{3}-\bruch{t}{t^{2}+3\sqrt{t^{2}-2}-2}
[/mm]
2:
[mm] k(t)=3t^{4}-2-ln(\sqrt{t^{2}-2})+3
[/mm]
[mm] =3t^{4}-ln(\sqrt{t^{2}-2})+1
[/mm]
[mm] k'(t)=12t^{3}-\bruch{1}{\sqrt{t^{2}-2}}*\bruch{1}{2}*2t*(t^{2}-2)^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
[mm] =12t^{3}-\bruch{t}{t^{2}-2}
[/mm]
Nun setzt du einfach die 2 in die Ableitung ein und berechnest den Wert. Dann hast du K'(2).
Was das inhaltlich bedeutet, kann ich dir nicht so genau sagen, da mein Wirtschafts-LK schon etwas länger zurückliegt, aber die geometrische Bedeutung der Ableitung sollte dir klar sein. Die Ableitung gibt immer die Steigung des Graphen in dem entsprechendem Punkt an.
Und die Kostenänderung in b) ist fast mit der Ableitung K'(2) äquivalent. Ich sage nur "fast", da noch ein bisschen fehlt, um die Bedeutung der Ableitung damit auszudrücken. Der Differentialquotient sprich die Ableitung ist so definiert: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{K(x_{0}+h)-K(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] wobei [mm] h=x-x_{0} [/mm] ist und x=3 und [mm] x_{0}=2 [/mm] ist in deinem Beispiel hier.
Man hat also den Abstand zweier Punkte einmal in x-Richtung und einmal in y-Richtung. Dann dividiert man beides durcheinander und erhält die Steigung. Wenn man nun wie schon gesagt, die Abstände gegen 0 laufen lässt, erhält man die Ableitung in [mm] x_{0}.
[/mm]
Würde man also noch die Kostendifferenz durch [mm] {x-x_{0}} [/mm] dividieren und den Abstand der beiden Punkte gegen 0 laufen lassen, dann hätte man K'(2).
Ich hoffe ich konnte dir damit helfen.
Gruß,
clwoe
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Hallo bummelb!
Zunächst auch dir ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie für nachfolgende Kostenfunktion K die
> Grenzkostenfunktion K´, und geben Sie den zu K´ gehörenden
> Definitionsbereich an:
>
> K(t) = [mm](3*t^4-2)-ln(sqrt(t^2-2))+3)[/mm] , sqrt2 < = t (t als
> Gewicht der Ausbringungsmenge)
>
> a) Berechnen Sie die Zahl K´(2), und geben Sie eine geom.
> und inhaltl. Interpretation dieser Zahl.
> b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der
> Kostenänderung [K(3) - K(2)] und K´(2) ?
Eines vorweg: ich hab nicht überprüft, ob K'(t) richtig ist, denn ich gehe in meinem Posting nur auf die inhaltliche Interpretation ein.
Mit K'(t) hast du die Grenzkostenfunktion ermittelt. Die Grenzkosten sind die Kosten, die für die Herstellung der zuletzt produzierten Einheit entstanden sind.
Je nach definierter Kostenfunktion kann der Verlauf der Grenzkosten überproportional, linear, unterproportional oder konstant in abhängigkeit von der Ausbringungsmenge sein. Bei Teilaufgabe b) sollst du m.m.N. eben dies untersuchen.
Gruß,
Tommy
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