Ableitung einer Wurzelfunktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Leite die Ableitungsfunktion von [mm] f(x)=\sqrt{x^2-4} [/mm] mit Hilfe des Grenzwertes her. |
Hallo liebes Forum,
ich komme nicht weiter - welch Überraschung, wenn man hier eine Frage stellt. Zu meinem Problem:
[mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2-4}-\sqrt{x^2-4}}{h}
[/mm]
nun kam ich auf den Gedanken mit [mm] \sqrt{(x+h)^2-4} [/mm] zu erweitern, da das auch geklappt hatte, als ich nach der Ableitung an einer bestimmten Stelle gesucht hatte. Dann erhält man folgendes:
[mm] =\limes_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-4-\sqrt{(x^2-4)((x+h)^2-4)}}{h\sqrt{(x+h)^2-4}}
[/mm]
Der eigentliche Plan ist, dass sich vieles aufhebt und am Ende h gekürzt werden kann. Doch gelingt es mir leider nicht richtig, da ich es nicht schaffe die verbleibende Wurzel im Zähler zu vereinfachen.
Da mich meine weiteren Umformungsversuche nicht zum Ergebnis führten, breche ich meinen Lösungsweg hier ab und frage nach einem tollen Tipp, wie die Wurzel im Zähler aufgelöst, oder wenigstens so manipuliert werden kann, dass ich ein h heraus kürzt.
Die Ableitung der Funktion ist mir bekannt.
Vielen Dank schon im Vorraus
pirol
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Hallo,
erweitere mit einfach mit [mm] \sqrt{(x+h)^2-4}+\sqrt{x^2-4} [/mm] und denke an die (dritte) binomische Formel im Zähler. Damit hebt sich einiges im Zähler auf, und die Lösung steht eigentlich "sofort" da.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Fr 11.10.2013 | | Autor: | pi-roland |
Vielen Dank,
an die 3. hatte ich leider nicht gedacht.
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