Ableitung einer positiv homogenen Funktion von Grad k < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
gegeben sind mir zwei endlich-dimensionale Banachräume V,W und eine
Abbildung f: V->W mit der Eigenschaft f(tv) = [mm] t^k*f(v) [/mm] für t>0 und v [mm] \in [/mm] V.
Zeigen soll ich, dass wenn f diffbar auf ganz [mm] V\backslash \{0\} [/mm] ist, dann die Ableitung [mm] D_{v}f(v) [/mm] = kf(v) ist.
Nun rechne ich nach und erhalte:
F(v) = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(p+tv)-f(p)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(p)+f(tv)-f(p)}{t} [/mm] = ... = f(v) [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{t^k}{t} [/mm] = f(v)
Mmmh, denk ich mir, das sieht nicht schlecht aus, fehlt ja nur noch das k...
Jemand einen Hinweis parat, wo sich das versteckt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Wessel
ich kenne mich zwar mit Banachräumen nicht aus, ebensowenig habe ich mich mit den Ableitungen von Funktionen zwischen Banachräumen auseinandergesetzt.
Trotz dieser Lücken glaube ich, in deiener Argumentation einen schwerwiegenden Fehler entdeckt zu haben:
Du nimmst stillschweigend an, dass die Funktion $f(v)$ linear sei!
Das schliesse ich daraus, weil du schreibst: $f(p+tv) = f(p)+f(tv)$
(Gut, es könnte ja auch noch eine periodische funktion sein)
Ich denke aber, das die Funkton nicht linear sein kann, sonst konnte ja nicht stehen: $f(tv) = [mm] t^{k}*f(v)$. [/mm] dann müsste es ja zwingend heissen: $f(tv) = t*f(v)$.
Gut, es kann sein, dass Banachräume so geheimnisvoll sind, dass das geht  . Ich kann mir das allerdings nicht vorstellen.
Ueberprüfst du bitte meine laienhaften Bemerkungen auf Richtigkeit und nimmst dann halt einen etwas schwierigeren Anlauf, die Aufgabe zu lösen?
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Paulus,
das stimmt - so geheimnisvoll sind Banachräume nicht. In meinem speziellen Fall handelt es sich um "normierte, vollständige Vektorräume" und die Ableitung ist definiert als:
f diffbar in v [mm] \in [/mm] V [mm] \gdw [/mm] es existiert lineare Funktion F mit
f(x) = f(v) + F(x-v) + R(x), wobei R(x) -> 0 für x -> v.
Zudem habe ich F(v) = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(p+tv)-f(p)}{t}
[/mm]
Ich bin mir nicht so sicher, aber ich hänge gerade über der Produktregel mit
[mm] D_{(p_{1},...,p_{k})} f(v_{1},...,v_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} f(p_{1},...,p_{i-1},v_{i},p_{i+1},...p_{k}).
[/mm]
Dann wäre meine Rechnung nur in einer Dimension... und meine Regel geht nur, wenn f k-linear (also in jeder Komponente linear) ist. zudem müßte ich dann ja auch V zerlegen in [mm] V_{1} [/mm] x .... x [mm] V_{k}. [/mm] Aber ich kenne ja nicht die Dimension von V (kleiner, gleich oder größer k).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 30.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Stefan!
> gegeben sind mir zwei endlich-dimensionale Banachräume V,W
> und eine
> Abbildung f: V->W mit der Eigenschaft f(tv) = [mm] t^k*f(v) [/mm] für
> t>0 und v [mm] \in [/mm] V.
>
> Zeigen soll ich, dass wenn f diffbar auf ganz [mm] V\backslash [/mm]
> [mm] \{0\} [/mm] ist, dann die Ableitung [mm] D_{v}f(v) [/mm] = kf(v) ist.
Ist $D_vf(v)$ die Richtungsableitung von $f$ an der Stelle $v$?
Dann müsste es doch so gehen:
[mm] \lim\limits_{t \to 0} \frac{\Vert f(v+tv) -f(v) -tk f(v) \Vert}{t}[/mm]
[mm] \lim\limits_{t \to 0} \frac{\Vert f((1+t)v) - f(v) -tkf(v) \Vert}{t}[/mm]
[mm]\lim\limits_{t \to 0} \frac{\Vert (1+t)^k f(v) - f(v) -tkf(v) \Vert}{t}[/mm]
[mm]\lim\limits_{t \to 0} \frac{((1+t)^k - 1 - tk) \Vert f(v)\Vert}{t}[/mm]
[de l'Hospital]
[mm]\lim\limits_{t \to 0} \frac{k \cdot ((1+t)^{k-1} -1)\Vert f(v) \Vert}{1}[/mm]
[mm]= 0[/mm],
woraus die Behauptung folgt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Stefan,
hezlichen Dank für den "Einzeiler" - nach mehreren Seiten steht das so nun auch auf meinem Papier da.
Liebe Grüße,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 03.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
es hat länger gedauert als gedacht, aber ich poste mal trotz des Lösungswegs von Stefan, der einen Weg über de l'Hopital anbietet, meine Lösung. Derzeit gehe ich noch davon aus, dass es richtig ist. Eventuell überzeugt sich einer kurz davon?!?
[mm] D_{v}f(v) [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(v+tv) - f(v)}{t}
[/mm]
Nun ist
f(v+tv) - f(v) = f((1+t)v) - f(v) = [mm] (1+t)^k [/mm] f(v) - f(v) = [mm] [(\summe_{i=0}^{k} \vektor{k \\ i} t^i)-1]f(v) [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{k} \vektor{k \\ i} t^i)f(v) [/mm]
also
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{(\summe_{i=1}^{k} \vektor{k \\ i} t^i)f(v) }{t}
[/mm]
= [mm] \limes_{t\rightarrow 0} (\summe_{i=1}^{k} \vektor{k \\ i} t^{i-1})f(v)
[/mm]
= k*f(v)+ [mm] \underbrace{\limes_{t\rightarrow 0} (\summe_{i=2}^{k} \vektor{k \\ i} t^{i-1})f(v)}_{=0}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Do 03.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Stefan!
Super! Ich denke, das ist komplett richtig. ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Liebe Grüße
Julius
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