Ableitung, gebrochen-rat. Funk < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Fr 14.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Von der folgenden Funktion f(x) = [mm] \bruch{x²}{1+x²}, [/mm] die zweite Ableitung bilden. |
Hallo,
f(x) = [mm] \bruch{x²}{1+x²}
[/mm]
die erste Ableitung ist f'(x) = [mm] \bruch{2x}{(1+x²)²}
[/mm]
nun die zweite Ableitung bilden
u = 2x
u' = 2
v = (1+x²)²
v' = [mm] 2(1+x²)\cdot{}2x
[/mm]
v² = [mm] (1+x²)^4
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{2\cdot{}(1+x²)² - 2x\cdot{}2(1+x²)\cdot{}2x}{(1+x²)^4}
[/mm]
ich komm immer auf: f''(x) = [mm] \bruch{-6x^4-4x²+2}{(1+x²)^4}
[/mm]
Als Lösung steht aber: f''(x) = [mm] \bruch{2(1-3x²)}{(1+x²)³}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{2\cdot{}(1+x²)² - 2x\cdot{}2(1+x²)\cdot{}2x}{(1+x²)^4}
[/mm]
bei diesem Ausdruck kann man die 1+x² doch zweimal kürzen, also:
f''(x) = [mm] \bruch{2\cdot{}1² - 2x\cdot{}2\cdot{}2x}{(1+x²)²} [/mm] = [mm] \bruch{2 - 8x²}{(1+x²)²} [/mm] 'es geht wieder nicht auf
als Wendepunkte, also f''(x) = 0, sollte [mm] x_1 [/mm] = -0,58 und [mm] x_2 [/mm] = 0,58 rauskommen.
Was mache ich falsch? Vielen Dank im Voraus.
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Hallo itse,
> Von der folgenden Funktion f(x) = [mm]\bruch{x²}{1+x²},[/mm] die
> zweite Ableitung bilden.
> Hallo,
>
> f(x) = [mm]\bruch{x²}{1+x²}[/mm]
>
> die erste Ableitung ist f'(x) = [mm]\bruch{2x}{(1+x²)²}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> nun die zweite Ableitung bilden
>
> u = 2x
> u' = 2
>
> v = (1+x²)²
> v' = [mm]2(1+x²)\cdot{}2x[/mm]
> v² = [mm](1+x²)^4[/mm]
>
> f''(x) = [mm]\bruch{2\cdot{}(1+x²)² - 2x\cdot{}2(1+x²)\cdot{}2x}{(1+x²)^4}[/mm]
>
> ich komm immer auf: f''(x) = [mm]\bruch{-6x^4-4x²+2}{(1+x²)^4}[/mm]
Das ist dasselbe wie in der Musterlösung, du kannst hier im Zähler [mm] $(1+x^2)$ [/mm] ausklammern (Polynomdivision) und kürzen
Du hast es dir allerdings unnötig schwierig gemacht, weil du alles im Zähler ausmultipliziert hast, klammere mal in dem Ausdruck 2 Zeilen oberhalb direkt [mm] $(1+x^2)$ [/mm] aus, dann kannst du es mit einem [mm] $(1+x^2)$ [/mm] im Nenner kürzen und kommst direkt auf den Ausdruck in der Lösung
> Als Lösung steht aber: f''(x) = [mm]\bruch{2(1-3x²)}{(1+x²)³}[/mm]
>
>
> f''(x) = [mm]\bruch{2\cdot{}(1+x²)² - 2x\cdot{}2(1+x²)\cdot{}2x}{(1+x²)^4}[/mm]
>
> bei diesem Ausdruck kann man die 1+x² doch zweimal kürzen, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> also:
du kannst (und solltest  ) es einmal kürzen, das [mm] $(1+x^2)$ [/mm] steht doch in dem zweiten Summanden im Zähler nur einfach und nicht im Quadrat, also kannst du auch "nur" [mm] $(1+x^2)$ [/mm] ausklammern und nicht [mm] $(1+x^2)^2$
[/mm]
Bei gebrochenrationalen Funktionen erhöht sich der Exponent im Nenner mit jeder Ableitung jeweils nur um 1, du kannst immer im Zähler entsprechend ausklammern und kürzen
>
> f''(x) = [mm]\bruch{2\cdot{}1² - 2x\cdot{}2\cdot{}2x}{(1+x²)²}[/mm]
> = [mm]\bruch{2 - 8x²}{(1+x²)²}[/mm] 'es geht wieder nicht auf
>
> als Wendepunkte, also f''(x) = 0, sollte [mm]x_1[/mm] = -0,58 und
> [mm]x_2[/mm] = 0,58 rauskommen.
>
> Was mache ich falsch? Vielen Dank im Voraus.
s.o.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Fr 14.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > ich komm immer auf: f''(x) = [mm]\bruch{-6x^4-4x²+2}{(1+x²)^4}[/mm]
>
>
> Das ist dasselbe wie in der Musterlösung, du kannst hier im
> Zähler [mm](1+x^2)[/mm] ausklammern (Polynomdivision) und kürzen
>
> Du hast es dir allerdings unnötig schwierig gemacht, weil
> du alles im Zähler ausmultipliziert hast, klammere mal in
> dem Ausdruck 2 Zeilen oberhalb direkt [mm](1+x^2)[/mm] aus, dann
> kannst du es mit einem [mm](1+x^2)[/mm] im Nenner kürzen und kommst
> direkt auf den Ausdruck in der Lösung
also:
f''(x) = [mm] \bruch{2\cdot{}(1+x²)² - 2x\cdot{}2\cdot{}2x}{(1+x²)³} [/mm] = [mm] \bruch{2x^4-4x²+2}{(1+x²)³}
[/mm]
Trotzdem komme ich nicht auf die Lösung, welchen Fehler habe ich gemacht?
ich könnte doch auch die (1+x²), dreimal im Zähler kürzen:
f''(x) = [mm] \bruch{2 - 2x\cdot{}2\cdot{}2x}{(1+x²)} [/mm] = [mm] \bruch{2-8x²}{(1+x²)}
[/mm]
oder doch nicht?
Ich komme jedenfalls mit keiner Lösung auf die beiden Wendepunkte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
Hey itse,
es gibt da so einen Spruch, ich weiß nicht ob Du ihn kennst, aber der lautet : "Aus der Summe kürzt nur der Dumme." Der Spruch reimt sich und ist immer gültig. Genau den Fehler hast Du hier gemacht. Wie bereits richtig erwähnt wurde, darfst und solltest Du das Binom nur einmal kürzen, weil es immer aus jedem Summand(oder Subtrahent oder wie diese Objekte heissen)gekürzt werden muss. Ist das nicht möglich, kannst Du auch nicht kürzen. Habs selber nachgerechnet, die vorgegebene Lösung ist richtig.
Lieben Gruß
Mubidoo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Schobbi |
Hey itse vielleicht kann ich dir hier weiterhelfen:
Wenn ich dich richtig verstanden habe kommst du ohne Probleme auf
f''(x)= [mm] \bruch{2x^4-4x²+2}{(1+x²)³} [/mm] = [mm] \bruch{2-6x^{2}}{(1+x^{2})^{3}}
[/mm]
was eindeutig die zweite Ableitung ist. f''(x)=0 liefert dann deine Wendepunkte.
Nun zu deiner Frage: Du darfst hier [mm] (1+x^{2})^{3} [/mm] im Nenner nicht "3-mal" mit dem Zähler kürzen da du im Zähler eine Subtraktion hast und du nur aus Produkten kürzen darfst. Vielleicht wird es die so klarer:
[mm] f''(x)=\bruch{2*(1+x^{2})^{2}-2x*2x*2(1+x^{2})}{(1+x^2)^{4}}=\bruch{2*(1+x^{2})^{2}-8x^{2}*(1+x^{2})}{(1+x^2)^{4}}
[/mm]
Ausklammern von [mm] (1+x^{2}) [/mm] liefert
[mm] =\bruch{(1+x^{2})*(2*(1+x^{2})-8x^{2})}{(1+x^2)^{4}}
[/mm]
Jetzt haben wir ein Produkt und können kürzen!
[mm] =\bruch{(2*(1+x^{2})-8x^{2})}{(1+x^2)^{3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2-6x^{2}}{(1+x^2)^{3}}
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen!
Also merke: NIEMALS aus Summen kürzen!
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