matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationAbleitung gleich Funktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Differentiation" - Ableitung gleich Funktion
Ableitung gleich Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitung gleich Funktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Mi 25.11.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Beweisen Sie, dass es außer der konstanten Funktion [mm] $\tilde{0}$ [/mm] keine rationale Funktion $f$ mit $f' = f$ geben kann.

Hallo,
meine bisherige Überlegung hierzu ist, dass man $f$ als [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] schreiben kann, wobei $Grad(p) = m$ und $Grad(q) = n$. Wir haben also eine Funktion mit einem Polynom vom Grad $m$ im Zähler und einem Polynom vom Grad $n$ im Nenner. Die Ableitung ist ein Polynom mit Grad höchstens $m + n - 1$ im Zähler und Grad $2n$ im Nenner.
Aber reicht das schon als Beweis, dass $f' [mm] \not= [/mm] f$?
Danke und Gruß,
Martin

        
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:07 Mi 25.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wir haben also eine Funktion mit einem Polynom vom Grad [mm]m[/mm]
> im Zähler und einem Polynom vom Grad [mm]n[/mm] im Nenner. Die
> Ableitung ist ein Polynom mit Grad höchstens [mm]m + n - 1[/mm] im
> Zähler und Grad [mm]2n[/mm] im Nenner.

>  Aber reicht das schon als Beweis, dass [mm]f' \not= f[/mm]?

Nö, der Bruch kann ja trotzdem noch dasselbe sein, oder nicht?

Tipp: Schreibe mal $f'$ aus wenn $f = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] und stelle dann die Gleichung $f' = f$ dann so um, dass du ein Ausdruck erhältst der Form "Polynom = 0"
Begründe nun.

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:28 Mi 25.11.2020
Autor: sancho1980

Hallo,
also wenn ich keinen Fehler gemacht habe, dann handelt es sich um diese Gleichung:

[mm] $\frac{(\sum \limits_{i = 0}^{m} a_ix^{i})(\sum \limits_{i = 0}^{n} \sum \limits_{j = 0}^{n} b_i b_j x^{i + j})}{(\sum \limits_{i = 0}^{n} b_ix^{i})((\sum \limits_{i = 1}^{m} \sum \limits_{j = 0}^{n} i a_i b_j x^{i + j - 1}) - (\sum \limits_{i = 1}^{n} \sum \limits_{j = 0}^{m} i b_i a_j x^{i + j - 1}))} [/mm] = 1$

...wobei $f(x) = [mm] \frac{p(x)}{q(x)}$ [/mm]

und $p(x) = [mm] \sum \limits_{i = 0}^{m} a_i x^i$ [/mm] und $q(x) = [mm] \sum \limits_{i = 0}^{n} b_i x^i$ [/mm]

Aber wieso könnne Zähler und Nenner nicht gleich sein?

Gruß und Danke,
Martin

Bezug
                        
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Mi 25.11.2020
Autor: fred97

Ich würde so vorgehen. Sei $ f(x) = [mm] \frac{p(x)}{q(x)} [/mm] $, wobei $p$ ein Polynom mit Grad $m$ und $q$ ein Polynom mit Grad $n$ ist.

Weiter sei $N$ die Menge der Nullstellen von $q$.

Es ist

$f'= [mm] \frac{p'q-pq'}{q^2}$. [/mm]

Aus  $f=f'$ folgt

[mm] $\frac{p'q-pq'}{q^2}=\frac{p}{q}=\frac{pq}{q^2}$ [/mm]

Alle bisherigen Gleichungen gelten auf $ [mm] \IR \setminus [/mm] N.$ Multiplizieren wir mit [mm] q^2 [/mm] durch, so liefert dies:

$p'q-pq'=pq$ auf  $ [mm] \IR \setminus [/mm] N.$  Da $N$ endlich ist und die Funktionen $p'q-pq'$ und $pq$ stetig sind, haben wir

$p'q-pq'=pq$ auf  $ [mm] \IR.$ [/mm]

Wir stellen um und erhalten

$(+) [mm] \quad [/mm] (p'-p)q=pq'$ auf [mm] \IR. [/mm]

Die Polynome links und rechts in $(+)$ haben also denselben Grad. Das ist aber nicht der Fall.

Welchen Grad hat $(p'-p)q$ ? Und welchen grad hat $pq'$ ?





Bezug
                                
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Mi 25.11.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

mich würde aber nach wie vor interessieren, ob

1) meine ermittelte Gleichung korrekt ist
2) fallst sie korrekt ist: sehe ich das richtig dass der Zählergrad = m + 2n und der Nennergrad = m + n - 1 ist, und der Ausdruck deswegen nicht gleich 1 sein kann?

Jetzt noch eine Frage zu deiner Alternativlösung:

> [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf  [mm]\IR \setminus N.[/mm]  Da [mm]N[/mm] endlich ist und die
> Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind, haben wir
>  
> [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf  [mm]\IR.[/mm]

Kannst du das mal erklären, wie du das meinst. Du schreibst erst "auf  [mm]\IR \setminus N[/mm]" und dann "auf  [mm]\IR[/mm]" weil "[mm]N[/mm] endlich ist und die
Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind". Was soll das mit der Endlichkeit der Nullstellen in Zusammenhang mit der Stetigkeit, dass du plötzlich den Definitionsbereich erweiterst?

Gruß und Danke,

Martin

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:37 Do 26.11.2020
Autor: sancho1980

Hallo, ist da jemand?

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Fr 27.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1) meine ermittelte Gleichung korrekt ist

Du brauchst die Polynome nicht ausschreiben.
Und da du durch $f$ teilst, musst du die Nullstellen von p berücksichtigen berücksichtigen.

>  2) fallst sie korrekt ist: sehe ich das richtig dass der
> Zählergrad = m + 2n und der Nennergrad = m + n - 1 ist,
> und der Ausdruck deswegen nicht gleich 1 sein kann?

Das ist dieselbe Begründung, wie bei freds Hinweis… wieso verfolgst du den nicht?

> Jetzt noch eine Frage zu deiner Alternativlösung:

Nennen wir sie lieber "Standardlösung" :-)

> Kannst du das mal erklären, wie du das meinst. Du
> schreibst erst "auf  [mm]\IR \setminus N[/mm]" und dann "auf  [mm]\IR[/mm]"
> weil "[mm]N[/mm] endlich ist und die
> Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind". Was soll das mit
> der Endlichkeit der Nullstellen in Zusammenhang mit der
> Stetigkeit, dass du plötzlich den Definitionsbereich
> erweiterst?

Du willst eine Aussage über ganz [mm] $\IR$ [/mm] treffen… eine konstante Funktion ist nämlich auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
Nun hast du aber bei der Form $f = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] nur eine Funktion, die auf [mm] $\IR\setminus [/mm] N$ definiert ist, wenn $N$ die Nulllstellenmenge von q ist.
Du willst folgern $p [mm] \equiv [/mm] 0$ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm]
Also musst du irgendwie von [mm] $\IR\setminus [/mm] N$ auf [mm] $\IR$ [/mm] kommen… freds Hinweis löst das Problem.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Fr 27.11.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

>  Das ist dieselbe Begründung, wie bei freds Hinweis…
> wieso verfolgst du den nicht?

Wie gesagt hab ich es mir angeschaut, aber einige Sachen sind/waren mir unklar...

>  
> Du willst eine Aussage über ganz [mm]\IR[/mm] treffen… eine
> konstante Funktion ist nämlich auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert.
>  Nun hast du aber bei der Form [mm]f = \frac{p}{q}[/mm] nur eine
> Funktion, die auf [mm]\IR\setminus N[/mm] definiert ist, wenn [mm]N[/mm] die
> Nulllstellenmenge von q ist.
> Du willst folgern [mm]p \equiv 0[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm]
>  Also musst du irgendwie von [mm]\IR\setminus N[/mm] auf [mm]\IR[/mm]
> kommen… freds Hinweis löst das Problem.

Ich verstehe das "so irgendwie". Was mir hier unklar ist: Wieso schreibst du [mm]p \equiv 0[/mm] statt [mm]p = 0[/mm]? Das Symbol kenne ich nur aus der modularen Algebra. Und wieso "will" ich auf ganz [mm]\IR[/mm] folgern? Es geht doch nur darum, rauszufinden, ob/wann $f'(x) = f(x)$ sein kann. Wenn $f(x)$ nun mal nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist, wieso darf es dann keine Einschränkungen geben?

Fred schreibt außerdem:

> [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf  [mm]\IR \setminus N.[/mm]  Da [mm]N[/mm] endlich ist und die
> Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind, haben wir
>  
> [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf  [mm]\IR.[/mm]

Das ist zweimal die gleiche Gleichung, aber einmal "auf  [mm]\IR \setminus N.[/mm]" und dann "auf  [mm]\IR.[/mm]" weil "[mm]N[/mm] endlich ist". Ich verstehe nicht, was mir die Formulierung weil "[mm]N[/mm] endlich ist" sagen will. Was hat es mit der "Endlichkeit" hier auf sich?

Auch am Ende finde ich die Ausdrucksweise ein Bisschen sonderbar:

> Wir stellen um und erhalten
>  
> [mm](+) \quad (p'-p)q=pq'[/mm] auf [mm]\IR.[/mm]
>  
> Die Polynome links und rechts in [mm](+)[/mm] haben also denselben
> Grad. Das ist aber nicht der Fall.

Sie haben "also denselben Grad. Das ist aber nicht der Fall"? Ja, was denn nun? Ja oder nein? Ich sehe links den Grad $m + n$ und rechts $m + n - 1$.Außer p ist das Nullpolynom; dann haben beide Seiten den Grad [mm] $-\infty$, [/mm] richtig?

Hoffe meine Fragen sind jetzt nicht zu doof, aber so isses halt ...

Danke und Gruß,

Martin

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Fr 27.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich verstehe das "so irgendwie". Was mir hier unklar ist:
> Wieso schreibst du [mm]p \equiv 0[/mm] statt [mm]p = 0[/mm]?

[mm] $p\equiv [/mm] 0$ bedeutet "p ist identisch zur Nullfunktion".
Das macht man um zu unterscheiden, ob man die Nullstellen der Funktion meint (p=0) oder ob man ausdrücken will, dass die ganze Funktion 0 ist.

> Und wieso "will" ich auf ganz [mm]\IR[/mm] folgern? Es geht doch nur darum, rauszufinden, ob/wann [mm]f'(x) = f(x)[/mm] sein kann.

Nein, die Aussage war: "Gilt für eine rationale Funktion f = f', so ist f die konstante Nullfunktion."
Da die konstante Nullfunktion aber auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist, ist also zu zeigen: Es gilt f = 0 auf ganz [mm] \IR. [/mm] (Oder anders notiert: Es gilt [mm] $f\equiv [/mm] 0$.)

> Wenn [mm]f(x)[/mm] nun mal nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist, wieso darf es dann keine Einschränkungen geben?

Siehe oben.
Aber hier vielleicht einmal ein Hinweis zur Notation: Du redest nicht über f(x) sondern über $f$.
f(x) bezeichnet einen Funktionswert, die Funktion selbst ist $f$.
D.h. f(x) kann NIE "auf ganz [mm] $\IR$" [/mm] definiert sein, da f(x) nur ein einzelner Wert ist. Im Gegensatz zu $f$ als Funktion.

> Fred schreibt außerdem:
>  
> > [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf  [mm]\IR \setminus N.[/mm]  Da [mm]N[/mm] endlich ist und die
> > Funktionen [mm]p'q-pq'[/mm] und [mm]pq[/mm] stetig sind, haben wir
>  >  
> > [mm]p'q-pq'=pq[/mm] auf  [mm]\IR.[/mm]
>  
> Das ist zweimal die gleiche Gleichung, aber einmal "auf  
> [mm]\IR \setminus N.[/mm]" und dann "auf  [mm]\IR.[/mm]" weil "[mm]N[/mm] endlich
> ist". Ich verstehe nicht, was mir die Formulierung weil "[mm]N[/mm]
> endlich ist" sagen will. Was hat es mit der "Endlichkeit" hier auf sich?

Die Aussage lässt sich im Allgemeinen nicht von [mm] $\IR \setminus [/mm] N$ auf ganz [mm] \IR [/mm] erweitern, wenn die Menge N nicht endlich ist.
Oder andersrum: Ist dir klar, dass für zwei stetige Funktionen f und g gilt: Sind sie  bis auf eine einzelne Stelle gleich, dann sind sie überall gleich. Das lässt sich leicht über die Stetigkeitseigenschaft zeigen.
Diesen Satz kann man nun für eine beliebige, aber endliche Anzahl an Stellen induktiv erweitern.
Das gilt aber nur endlich oft, hat man unendlich viele solcher Stellen, wird es problematisch.


> Auch am Ende finde ich die Ausdrucksweise ein Bisschen sonderbar:
>  
> > Wir stellen um und erhalten
>  >  
> > [mm](+) \quad (p'-p)q=pq'[/mm] auf [mm]\IR.[/mm]
>  >  
> > Die Polynome links und rechts in [mm](+)[/mm] haben also denselben
> > Grad. Das ist aber nicht der Fall.
>  
> Sie haben "also denselben Grad. Das ist aber nicht der
> Fall"? Ja, was denn nun? Ja oder nein?

Das ist ungünstig formuliert.
Besser wäre es gewesen: WÜRDE f=f' gelten, so hätten beide Seiten den selben Grad. Wie man aber kennt, haben sie den nicht.

> Ich sehe links den
> Grad [mm]m + n[/mm] und rechts [mm]m + n - 1[/mm].Außer p ist das
> Nullpolynom; dann haben beide Seiten den Grad [mm]-\infty[/mm],
> richtig?

Korrekt.

Ich hätte auch, anders als fred, gar nicht umgestellt, sondern die Gleichung in der Form belassen: $ p'q-pq'=pq $
Hier erkennt man bereits auch: Die rechte Seite hat einen Grad, der (mindestens) um 1 höher ist als die linke Seite, außer p oder q ist das Nullpolynom.
q kann nicht das Nullpolynom sein, daher muss p es sein.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Abwandlung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Mi 25.11.2020
Autor: HJKweseleit

Behauptung: Gilt für eine auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Fkt. f die Identität f(x)=f'(x), so lässt sich f(x) als [mm] c*e^x [/mm] schreiben.

Beweis. Sei f wie oben angegeben. Bilde [mm] g(x)=\bruch{f(x)}{e^x}. [/mm] (wg. [mm] e^x\ne [/mm] 0 überall auf [mm] \IR [/mm] definiert)

Dann ist [mm] g'(x)=\bruch{f'(x)e^x-f(x)e^x}{e^{2x}}=\bruch{(f'(x)-f(x))e^x}{e^{2x}}=0 [/mm] und somit g(x)=c=konstant [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] g(x)=\bruch{f(x)}{e^x}=c, [/mm] also [mm] f(x)=c*e^x. [/mm]

Da [mm] e^x [/mm] keine rationale Fkt. ist, kann f(x) außer für c=0 keine rationale Fkt. sein.

Bezug
                
Bezug
Ableitung gleich Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Mi 25.11.2020
Autor: sancho1980

Faszinierend einfach ...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]